수학 강좌 | 중학교 > 제곱근과 실수 > 제곱근의 뜻과 표현

제곱근의 뜻

제곱하여 $ a $가 되는 수, 즉

\begin{gather*}
x^2 = a
\end{gather*}

를 만족시키는 $ x $를 $ a $의 제곱근이라고 해요. 예를 들어 $ 4 $의 제곱근은 제곱하여 $ 4 $가 되는 수이므로 $ 2 $와 $ -2 $ 두 개가 있어요.

양수의 제곱근은 양수와 음수 두 개가 있지만 음수는 그렇지 않아요. 제곱해서 음수가 되는 수는 없으므로 음수의 제곱근도 존재하지 않아요. 그리고 제곱하여 $ 0 $이 되는 수는 $ 0 $만 있어요.

제곱근의 표현

$ 2 $를 제곱하면 $ 4 $에요. $ 3 $을 제곱하면 $ 9 $가 됩니다. 그렇다면 제곱해서 $ 5 $가 되는 수는 무엇일까요? 존재는 하지만 정확히 얼마인지 나타내기는 힘들어요. 그래서 새로운 기호를 하나 만들어요. 바로

\begin{gather*}
\sqrt{~~}
\end{gather*}

에요. 이 기호를 근호라 하고 제곱근 또는 루트라고 읽어요. 예를 들어

\begin{gather*}
\sqrt{3}
\end{gather*}

은 제곱해서 $ 3 $이 되는 수 중 양수를,

\begin{gather*}
– \sqrt{3}
\end{gather*}

은 제곱해서 $ 3 $이 되는 수 중 음수를 뜻합니다. 이 둘을 합쳐서

\begin{gather*}
\pm \sqrt{3}
\end{gather*}

으로 나타내기도 해요.

제곱근의 표현

양수 $ a $의 양의 제곱근은 $ \sqrt{a} $로, 음의 제곱근은 $ -\sqrt{a} $로 나타낸다.

$ \sqrt{a} $는 제곱근 $ a $ 또는 루트 $ a $로 읽는다.

$ a $의 제곱근과 제곱근 $ a $는 의미가 달라요. $ a $의 제곱근은 제곱해서 $ a $가 되는 모든 수를 뜻하고, 제곱근 $ a $는 $ \sqrt{a} $에요.

예를 들어 $ 5 $의 제곱근은 $ \pm \sqrt{5} $이고, 제곱근 $ 5 $는 $ \sqrt{5} $입니다. 둘의 차이를 묻는 문제가 자주 출제되니, 정확히 알고 있어야 해요.

참고

  • 제곱하여 음수가 되는 수는 고등학교에서 배웁니다. 허수라고 해요.