수학 공식 | 고등학교 > 이차방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 $의 두 근을 $ \alpha $, $ \beta $라 하면

\begin{gather*}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \ \ \alpha \beta = \dfrac{c}{a}
\end{gather*}

이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 $의 두 근을 $ \alpha $, $ \beta $라 하면

\begin{gather*}
a ( x – \alpha )( x – \beta ) = 0
\end{gather*}

전개하면

\begin{gather*}
ax^2 – a ( \alpha + \beta ) x + a \alpha \beta = 0
\end{gather*}

$ ax^2+bx+c=0 $과 계수를 비교하면

\begin{gather*}
– a ( \alpha + \beta ) = b, \ \ a \alpha \beta = c
\end{gather*}

두 식을 정리하면

\begin{gather*}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \ \ \alpha \beta = \dfrac{c}{a}
\end{gather*}

$ x $에 관한 이차방정식 $ x^2 + 3x – 5 = 0 $의 두 근을 $ \alpha $, $ \beta $라 할 때, $ \alpha^2 + \beta^2 $의 값을 구하여라.

근과 계수의 관계에 의하여 $ \alpha + \beta = -3 $, $ \alpha \beta = -5 $

\begin{gather*}
\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2 \alpha \beta = (-3)^2 -2 \times (-5) = 19
\end{gather*}

잡동사니

  1. $ a+b\sqrt{m} $ (단, $ b \neq 0 $)가 이차방정식 $ px^2+qx+r=0 $의 근이면 $ a-b\sqrt{m} $도 이 방정식의 근이다. (단, $ a $, $ b $, $ p $, $ q $, $ r $은 유리수, $ \sqrt{m} $은 무리수)
  2. $ a+bi $ (단, $ b \neq 0 $)가 이차방정식 $ px^2+qx+r=0 $의 근이면 $ a-bi $도 이 방정식의 근이다. (단, $ a $, $ b $, $ p $, $ q $, $ r $은 실수)

$ x $에 대한 이차방정식 $ x^2+px+q=0 $에 대하여 다음 물음에 답하여라.

  1. 한 근이 $ 2+\sqrt{3} $일 때 유리수 $ p $, $ q $의 값을 구하여라.
  2. 한 근이 $ 2+3i $일 때 실수 $ p $, $ q $의 값을 구하여라.
  1. 한 근이 $ 2+\sqrt{3} $이면 다른 한 근은 $ 2-\sqrt{3} $이고
    \begin{gather*}
    ( 2+\sqrt{3} ) + ( 2-\sqrt{3} ) = -p, \ \ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = q \\
    \therefore \ \ \ p = -4, \ \ q = 1
    \end{gather*}
  2. 한 근이 $ 2+3i $이면 다른 한 근은 $ 2-3i $이고
    \begin{gather*}
    ( 2+3i ) + ( 2-3i ) = -p, \ \ (2+3i)(2-3i) = q \\
    \therefore \ \ \ p = -4, \ \ q = 13
    \end{gather*}