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수학적 귀납법
자연수 $ n $에 대한 명제 $ p(n) $이 모든 자연수 $ n $에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
- $ n=1 $일 때, 명제 $ p(n) $이 성립한다.
- $ n=k $일 때, 명제 $ p(n) $이 성립한다고 가정하면 $ n=k+1 $일 때도 명제 $ p(n) $이 성립한다.
이와 같은 방법으로 명제 $ p(n) $이 성립함을 증명하는 것을 수학적 귀납법이라 한다.
모든 자연수 $ n $에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.
\begin{gather*}
1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}
\end{gather*}
- $ n=1 $일 때, $ (좌변)=1 $, $ (우변) = \dfrac{1 \times 2}{2} = 1 $이므로 등식이 성립한다.
- $ n=k $일 때, 등식이 성립한다고 가정하면
\begin{gather*}
1+2+3+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2}
\end{gather*}양변에 $ k+1 $을 더하면
\begin{align*}
1+2+3+\cdots+k + (k+1) &= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \\
&= \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{align*}따라서 $ n=k+1 $일 때도 등식이 성립한다.
1, 2에 의하여 모든 자연수 $ n $에 대하여 등식이 성립한다.
2018/07/15 01:50수학 공식
