수학 공식 | 고등학교 > 역함수
역함수
함수 $ f : \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y} $가 일대일대응이면 $ \mathrm{Y} $의 각 원소 $ y $에 대하여 $ f(x)=y $인 $ \mathrm{X} $의 원소 $ x $는 단 하나 존재한다.
이때 $ \mathrm{Y} $의 각 원소 $ y $에 $ f(x)=y $인 $ \mathrm{X} $의 원소 $ x $를 대응시키면 $ \mathrm{Y} $를 정의역, $ \mathrm{X} $를 공역으로 하는 새로운 함수를 만들 수 있다.
이 함수를 $ f $의 역함수라고 하며, 기호로
\begin{gather*}
f^{-1}
\end{gather*}
와 같이 나타낸다. 즉,
\begin{gather*}
f : \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}, \ \ y = f(x)
\end{gather*}
일 때
\begin{gather*}
f^{-1} : \mathrm{Y} \rightarrow \mathrm{X}, \ \ x = f^{-1}(y)
\end{gather*}
이다.
- $ f^{-1} $는 $ f $의 역함수 또는 $ f $ inverse라고 읽는다.
함수 $ f(x) = ax+b $에 대하여 $ f^{-1}(6) = 1 $, $ f^{-1}(8) = 2 $이다. 상수 $ a $, $ b $의 값을 구하여라.
$ f^{-1}(6) = 1 $, $ f^{-1}(8) = 2 $이면 $ f(1)=6 $, $ f(2)=8 $이므로
\begin{gather*}
a+b=6, \ 2a+b=8 \ \ \therefore \ \ a=2, \ b=4
\end{gather*}
이다.
역함수의 성질
세 함수 $ f : \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y} $, $ g : \mathrm{Y} \rightarrow \mathrm{Z} $, $ h : \mathrm{Z} \rightarrow \mathrm{W} $가 일대일 대응이고 그 역함수가 각각 $ f^{-1} $, $ g^{-1} $, $ h^{-1} $일 때, 다음이 성립한다.
- $ (f^{-1})^{-1} = f $
- $ f \circ f^{-1} = \mathrm{I}, \ f^{-1} \circ f = \mathrm{I} $ (단, $ \mathrm{I} $는 항등함수)
- $ (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} $
- $ (f \circ g \circ h)^{-1} = h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1} $
두 함수 $ f(x)=2x+1 $, $ g(x)=x-2 $에 대하여
\begin{gather*}
(f \circ (g \circ f)^{-1} \circ f)(3)
\end{gather*}
의 값을 구하여라.
주어진 식을 변형하면
\begin{align*}
(f \circ (g \circ f)^{-1} \circ f)(3) &= (f \circ f^{-1} \circ g^{-1} \circ f)(3) \\
& = (g^{-1} \circ f)(3) \\
& = g^{-1}(f(3)) = g^{-1}(7)
\end{align*}
이다. $ g^{-1}(7) = a $라고 할 때 $ g(a)=7 $이고
\begin{gather*}
g(a) = a-2 = 7 \ \ \therefore \ \ a=9
\end{gather*}
이므로, 정답은 $ 9 $이다.
두 함수 $ f(x) = x+2 $, $ g(x)=2x+4 $에 대하여
\begin{gather*}
f^{-1} \circ h = g
\end{gather*}
를 만족하는 함수 $ h(x) $를 구하여라.
$ f^{-1} \circ h = g $의 양변 왼쪽에 $ f $를 합성하면 $ h = f \circ g $이므로
\begin{gather*}
h(x) = f(g(x)) = f(2x+4) = 2x+6
\end{gather*}
이다.
역함수 만드는 방법
- $ x $에 대하여 정리한 후 $ x $와 $ y $를 바꾼다.
- 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
함수 $ y = (x-1)^2 + 2 \ \ (x \geq 1) $의 역함수를 구하여라.
치역이 $ \{ y | y \geq 2 \} $이므로 역함수의 정의역은 $ \{ x | x \geq 2 \} $이다.
$ x $에 대하여 정리하면
\begin{gather*}
(x-1)^2 = y-2 \ \ \ \therefore \ \ x = \sqrt{y-2} + 1
\end{gather*}
$ x $와 $ y $를 바꾸면
\begin{gather*}
y = \sqrt{x-2} + 1 \ \ (x \geq 2)
\end{gather*}
역함수의 그래프의 성질
함수 $ y=f(x) $의 그래프와 그 역함수 $ y=f^{-1} (x) $의 그래프는 직선 $ y=x $에 대하여 대칭이다.
- 함수 $ y=f(x) $의 그래프와 그 역함수 $ y=f^{-1} (x) $의 그래프와의 교점은 함수 $ y=f(x) $의 그래프와 $ y=x $의 교점과 같다.
