수학 공식 | 고등학교 > 등차수열과 등차수열의 합

등차수열의 뜻

첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라고 한다. 이때 더하는 일정한 수를 공차라고 한다.

등차수열의 일반항

첫째항이 $ a $, 공차가 $ d $인 등차수열의 일반항 $ a_n $은

\begin{gather*}
a_n = a + (n-1)d
\end{gather*}

  • 등차수열의 일반항은 $ n $에 관한 일차식이다.
  • $ a_n = An + B $는 첫째항이 $ A+B $, 공차가 $ A $인 등차수열의 일반항이다.

다음 등차수열의 일반항을 구하여라.

\begin{gather*}
2, \ \ 6, \ \ 10, \ \ 14, \ \ 18, \ \ \cdots
\end{gather*}

첫째항이 $ 2 $, 공차가 $ 4 $이므로

\begin{gather*}
2+(n-1) \cdot 4 = 4n – 2
\end{gather*}

제$ 2 $항이 $ 7 $, 제$ 4 $항이 $ 1 $인 등차수열 $ \{ a_n \} $의 일반항을 구하여라.

첫째항을 $ a $, 공차를 $ d $라 하면 $ a_n = a + (n-1)d $

\begin{gather*}
a_2 = a+d = 7, \ \ a_4 = a+3d = 1
\end{gather*}

연립하여 $ a $와 $ d $의 값을 구하면 $ a=10 $, $ d=-3 $이므로

\begin{gather*}
a_n = 10+(n-1) \cdot (-3) = -3n + 13
\end{gather*}

등차수열의 항과 항 사이의 관계

첫째항이 $ a $, 공차가 $ d $인 등차수열 $ \{ a_n \} $에 대하여

  1. $ a_{n+1} = a_n + d $
  2. $ a_{n+1} = \dfrac{a_n + a_{n+2}}{2} $
  1. $ a_{n+1} = a + nd $, $ a_n = a+(n-1)d $이므로 $ a_{n+1} = a_n + d $
  2. $ \displaystyle \frac{a_n + a_{n+2}}{2} = \frac{ \{ a+(n-1)d \} + \{ a+(n+1)d \}}{2} = \frac{2(a + nd)}{2} = a_{n+1} $

등차중항

세 수 $ a $, $ b $, $ c $가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때

\begin{gather*}
b = \frac{a+c}{2}
\end{gather*}

이고, $ b $를 $ a $와 $ c $의 등차중항이라 한다.

세 수 $ 2 $, $ x $, $ 8 $이 이 순서대로 등차수열을 이루도록 하는 $ x $의 값을 구하여라.

$ x = \dfrac{2 + 8}{2} = 5 $

등차수열의 합

첫째항이 $ a $, 공차가 $ d $, 제$ n $항이 $ l $인 등차수열의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합을 $ S_n $이라 하면

  1. $ \displaystyle S_n = \frac{n(a+l)}{2} $
  2. $ \displaystyle S_n = \frac{n \{ 2a+(n-1)d \}}{2} $

⑴의 증명

\begin{align*}
S_n &= a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + (l-d) + l \\
S_n &= l + (l-d) + (l-2d) + \cdots + (a+d) + a
\end{align*}

변변 더하면

\begin{align*}
2 S_n & = (a+l) + (a+l) + (a+l) + \cdots + (a+l) + (a+l) \\
& = n (a+l)
\end{align*}

따라서 $ S_n = \dfrac{n(a+l)}{2} $

⑵의 증명

$ l = a+(n-1)d $이므로

\begin{align*}
S_n = \frac{n(a+l)}{2} = \frac{n(a+a+(n-1)d)}{2} = \frac{n \{ 2a+(n-1)d \}}{2}
\end{align*}

제$ 1 $항이 $ 1 $, 제$ 10 $항이 $ 49 $인 등차수열의 제$ 1 $항부터 제$ 10 $항까지의 합 $ S_{10} $을 구하여라.

제$ 1 $항이 $ 1 $, 제$ 10 $항이 $ 49 $, 항의 개수가 $ 10 $이므로

\begin{gather*}
S_{10} = \frac{10 ( 1 + 49 )}{2} = 250
\end{gather*}

제$ 3 $항이 $ 5 $, 제$ 7 $항이 $ 13 $인 등차수열 $ \{ a_n \} $의 제$ 1 $항부터 제$ n $항까지의 합 $ S_n $을 구하여라.

첫째항을 $ a $, 공차를 $ d $라 하면 $ a_n = a + (n-1)d $

\begin{gather*}
a_3 = a + 2d = 5, \ \ a_7 = a + 6d = 13
\end{gather*}

연립하여 $ a $와 $ d $의 값을 구하면 $ a=1 $, $ d=2 $

\begin{gather*}
S_n = \frac{n \{ 2 \times 1 + (n-1) \times 2 \} }{2} = n^2
\end{gather*}

수열의 합과 일반항 사이의 관계

수열 $ \{ a_n \} $의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합을 $ S_{n} $이라 하면

\begin{gather*}
a_1 = S_{1}, \ \ a_n = S_{n} – S_{n-1} \ \ (n= 2, \ 3, \ 4, \ \cdots)
\end{gather*}

잡동사니

등차수열의 합은

  1. 상수항이 없는 $ n $에 관한 $ 2 $차식이다.
  2. $ n^2 $의 계수의 $ 2 $배가 공차이다.

수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 제$ 1 $항부터 제$ n $항까지의 합 $ S_n $이

\begin{gather*}
S_n = 3n^2 + n
\end{gather*}

이다. 수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 일반항 $ a_n $을 구하여라.

$ S_n $이 상수항이 없는 이차식이므로 $ a_n $은 등차수열이다.

첫째항은 $ a_1 = S_1 = 4 $, 공차는 이차항 계수의 두 배 $ 3 \times 2 = 6 $이므로

\begin{gather*}
a_n = 4 + (n-1) \times 6 = 6n – 2
\end{gather*}