수학 강좌 | 고등학교 > 여러 가지 미분법 > 음함수의 미분법

양함수와 음함수

$ y $가 $ x $에 대한 함수일 때

\begin{gather*}
y = f(x)
\end{gather*}

의 꼴로 나타낸 것을 양함수(explicit function)라고 해요. 그리고

\begin{gather*}
f(x, \ y) = 0
\end{gather*}

의 꼴로 나타낸 것을 음함수(implicit function)라고 합니다. 예를 들어

\begin{gather*}
y = x^2
\end{gather*}

은 양함수이고

\begin{gather*}
x^2 – y = 0
\end{gather*}

은 음함수입니다.

음함수의 미분법

$ y^2 $을 $ x $에 대하여 미분하면

\begin{gather*}
\frac{dy^2}{dx} = \frac{dy^2}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}
\end{gather*}

입니다. 즉, $ y $에 대하여 미분한 후 $ \dfrac{dy}{dx} $를 곱하면 됩니다.

이 방식을 이용하여 음함수의 꼴로 주어진 함수를 양함수의 꼴로 바꾸지 않고, 바로 각 항을 $ x $에 대하여 미분하는 것을 음함수의 미분법이라 합니다.

음함수 $ x^2 + y^2 – 1 = 0 $의 도함수 $ \dfrac{dy}{dx} $를 구하여라.

양변을 $ x $에 대하여 미분합니다.

\begin{gather*}
\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) – \frac{d}{dx}(1) = \frac{d}{d}(0) \\
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \\
\therefore \ \ \frac{dy}{dx} = – \frac{x}{y}
\end{gather*}

곡선 $ x^2-2xy+2y^2=5 $ 위의 점 $ (1, \ 2) $에서의 접선의 방정식을 구하여라.

양변을 $ x $에 대하여 미분합니다.

\begin{gather*}
2x – \left( 2y + 2x \frac{dy}{dx} \right) + 4y \frac{dy}{dx} = 0 \\
\therefore \ \ \frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x-2y}
\end{gather*}

$ x=1 $, $ y=2 $를 대입하여 기울기를 구합니다.

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{1-2}{1-2 \times 2} = \frac{1}{3}
\end{gather*}

접선의 방정식을 구합니다.

\begin{gather*}
y – 2 = \frac{1}{3} (x-1) \ \ \ \therefore \ \ y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}
\end{gather*}