수학 공식 | 고등학교 > 원의 방정식

원의 방정식의 표준형

  1. 중심이 점 $ C(a, \ b) $, 반지름의 길이가 $ r $인 원의 방정식은
    \begin{gather*}
    (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
    \end{gather*}
  2. 중심이 원점, 반지름의 길이가 $ r $인 원의 방정식은
    \begin{gather*}
    x^2 + y^2 = r^2
    \end{gather*}

좌표축에 접하는 원의 방정식

  1. 중심이 $ (a, \ b) $이고 $ x $축에 접하는 원은
    \begin{gather*}
    ( \textrm{반지름의 길이} ) = | ( \textrm{중심의 } y \textrm{좌표} ) |
    \end{gather*}이므로
    \begin{gather*}
    (x-a)^2 + (y-b)^2 = b^2
    \end{gather*}
  2. 중심이 $ (a, \ b) $이고 $ y $축에 접하는 원은
    \begin{gather*}
    ( \textrm{반지름의 길이} ) = | ( \textrm{중심의 } x \textrm{좌표} ) |
    \end{gather*}이므로
    \begin{gather*}
    (x-a)^2 + (y-b)^2 = a^2
    \end{gather*}
  3. $ x $축과 $ y $축에 동시에 접하는 원은
    \begin{gather*}
    ( \textrm{반지름의 길이} ) = | ( \textrm{중심의 } x \textrm{좌표} ) | = | ( \textrm{중심의 } y \textrm{좌표} ) |
    \end{gather*}이므로, 반지름의 길이를 $ r $이라 할 때
    ① 중심이 제1사분면 위에 있으면 $ (x-r)^2 + (x-r)^2 = r^2 $
    ② 중심이 제2사분면 위에 있으면 $ (x+r)^2 + (x-r)^2 = r^2 $
    ③ 중심이 제3사분면 위에 있으면 $ (x+r)^2 + (x+r)^2 = r^2 $
    ④ 중심이 제4사분면 위에 있으면 $ (x-r)^2 + (x+r)^2 = r^2 $

원의 방정식의 일반형

$ x $, $ y $에 대한 이차방정식

\begin{gather*}
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \ \ (A^2 + B^2 – 4C > 0)
\end{gather*}

은 중심이 점 $ \left(-\dfrac{A}{2}, \ -\dfrac{B}{2} \right) $, 반지름의 길이가 $ \dfrac{\sqrt{A^2 + B^2 – 4C}}{2} $인 원이다.

원의 방정식의 일반형을 표준형으로 바꾸면

\begin{gather*}
\left( x + \frac{A}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{B}{2} \right)^2 = \frac{A^2 + B^2 – 4C}{4}
\end{gather*}

두 원의 교점을 지나는 도형의 방정식

서로 다른 두 점에서 만나는 두 원

\begin{gather*}
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0, \ \ x^2 + y^2 + A’x + B’y + C’ = 0
\end{gather*}

의 교점을 지나는 도형의 방정식은

\begin{gather*}
( x^2 + y^2 + Ax + By + C ) + k ( x^2 + y^2 + A’x + B’y + C’ ) = 0
\end{gather*}

이고, $ k \neq -1 $이면 원, $ k=-1 $이면 직선이다.

아폴로니오스의 원

좌표평면 위의 두 정점 $ A $, $ B $에 대하여

\begin{gather*}
\overline{AP}:\overline{PB} = m:n \ ( m>0 , \ n>0 , \ m \neq n)
\end{gather*}

을 만족하는 점 $ P $가 나타내는 도형은 선분 $ AB $를 $ m:n $으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원이다.

두 점 $ A(1, \ 0) $, $ B(4, \ 0) $으로부터의 거리의 비가 $ 2 : 1 $이 되도록 움직이는 점 $ P $가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.

선분 $ AB $의 $ 2:1 $ 내분점의 좌표는 $ (3, \ 0) $, 외분점의 좌표는 $ (7, \ 0) $이다. 내분점과 외분점이 지름의 양 끝점이므로 반지름의 길이는 $ 2 $이고, 중심의 좌표는 $ ( 5, \ 0 ) $이므로

\begin{gather*}
(x-5)^2 + y^2 = 4
\end{gather*}

잡동사니

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