수학 공식 | 고등학교 > 명제의 증명

정의, 증명, 정리

  1. 정의 : 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 그 용어의 정의라고 한다.
  2. 증명 : 명제의 가정과 이미 알려진 성질로 그 명제가 참임을 설명하는 것을 증명이라고 한다.
  3. 정리 : 참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것이나 여러 가지 성질을 증명할 때 자주 이용되는 것을 정리라고 한다.
  • 정의의 예
    정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형이다.
    직사각형은 네 내각의 크기가 같은 사각형이다.
  • 정리의 예
    이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다.
    직사각형의 두 대각선의 길이는 서로 같고 서로 다른 것을 이등분한다.

대우를 이용한 증명법

명제가 참이면 그 대우도 참이므로, 명제가 참임을 증명할 때 그 대우가 참임을 증명하는 방법이다.

다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하여라.

자연수 $ n $에 대하여 $ n^2 $이 짝수이면 $ n $도 짝수이다.

주어진 명제의 대우는

자연수 $ n $에 대하여 $ n $이 홀수이면 $ n^2 $도 홀수이다.

자연수 $ n $이 홀수이면 $ n = 2k-1 $ ($ k $는 자연수)로 나타낼 수 있다.

\begin{gather*}
n^2 = (2k-1)^2 = 4k^2 – 4k + 1 = 2(2k^2 – 2k + 1)-1
\end{gather*}

이므로 $ n^2 $은 홀수이다.

대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

귀류법

명제의 결론을 부정하면 모순이 일어남을 보여 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라 한다.

다음 명제가 참임을 귀류법으로 증명하여라.

자연수 $ n $에 대하여 $ n^2 $이 짝수이면 $ n $도 짝수이다.

$ n $이 홀수이면 $ n = 2k-1 $ ($ k $는 자연수)로 나타낼 수 있다.

\begin{gather*}
n^2 = (2k-1)^2 = 4k^2 – 4k + 1 = 2(2k^2 – 2k + 1)-1
\end{gather*}

이므로 $ n^2 $은 홀수이다.

$ n^2 $이 짝수라는 가정에 모순이므로 주어진 명제는 참이다.