수학 공식 | 고등학교 > 나머지정리와 인수정리

나머지정리

$ x $에 대한 다항식 $ f(x) $에 대하여

  1. $ f(x) $를 일차식 $ x – \alpha $로 나눈 나머지를 $ {R} $이라 하면
    \begin{gather*}
    {R} = f ( \alpha )
    \end{gather*}
  2. $ f(x) $를 일차식 $ ax + b $로 나눈 나머지를 $ {R} $이라 하면
    \begin{gather*}
    {R} = f \left( – \frac{b}{a} \right)
    \end{gather*}
  1. $ x $에 대한 다항식 $ f(x) $를 $ x-\alpha $로 나누었을 때의 몫을 $ Q(x) $, 나머지를 $ R $이라 하면
    \begin{gather*}
    f(x) = ( x-\alpha ) Q(x) + R
    \end{gather*}$ x = \alpha $를 대입하면
    \begin{gather*}
    f(\alpha) = 0 \cdot Q(\alpha) + R \ \ \ \therefore \ \ R = f(\alpha)
    \end{gather*}
  2. $ x $에 대한 다항식 $ f(x) $를 $ ax+b $로 나누었을 때의 몫을 $ Q(x) $, 나머지를 $ R $이라 하면
    \begin{gather*}
    f(x) = ( ax+b ) Q(x) + R
    \end{gather*}이고, 양변에 $ x = – \dfrac{b}{a} $를 대입하면
    \begin{gather*}
    f \left( – \dfrac{b}{a} \right) = 0 \cdot Q \left( – \dfrac{b}{a} \right) + R \ \ \ \therefore \ \ R = f \left( – \dfrac{b}{a} \right)
    \end{gather*}

$ x $에 대한 다항식 $ f(x) = x^3 + ax^2 – 2x + 4 $를 $ x-2 $로 나누었을 때의 나머지는 $ 4 $일 때, 이 다항식을 $ x-1 $로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

$ x-2 $로 나누었을 때의 나머지가 $ 4 $이므로 $ f(2)=4 $

$ f(2) = 8 + 4a – 4 + 4 = 4 \ \ \ \therefore \ \ a=-1 $

$ f(x) $를 $ x-1 $로 나누었을 때의 나머지는 $ f(1) $이므로

$ f(1) = 1 + (-1) – 2 + 4 = 2 $

인수정리

$ x $에 대한 다항식 $ f(x) $에 대하여

  1. $ f(x) $가 $ x-\alpha $로 나누어 떨어지면 $ f( \alpha ) = 0 $이다.
  2. $ f( \alpha ) = 0 $이면 $ f(x) $는 $ x-\alpha $로 나누어 떨어진다.

다항식 $ x^6 + ax^5 +bx^4 + 4 $가 $ x-1 $과 $ x+1 $을 인수로 가질 때, 상수 $ a $, $ b $의 값을 구하여라.

$ f(x) = x^6 + ax^5 +bx^4 + 4 $로 놓으면, $ f(1) = 0 $, $ f(-1) = 0 $

$ f(1) = 1 + a + b + 4 = 0 \ \ \ \therefore \ \ a + b = -5 $

$ f(-1) = 1 – a + b + 4 = 0 \ \ \ \therefore \ \ a – b = 5 $

연립하여 $ a $, $ b $의 값을 구하면 $ a=0 $, $ b=-5 $