수학 공식 | 고등학교 > 나머지정리와 인수정리
나머지정리
$ x $에 대한 다항식 $ f(x) $에 대하여
- $ f(x) $를 일차식 $ x - \alpha $로 나눈 나머지를 $ {R} $이라 하면
\begin{gather*}
{R} = f ( \alpha )
\end{gather*} - $ f(x) $를 일차식 $ ax + b $로 나눈 나머지를 $ {R} $이라 하면
\begin{gather*}
{R} = f \left( - \frac{b}{a} \right)
\end{gather*}
- $ x $에 대한 다항식 $ f(x) $를 $ x-\alpha $로 나누었을 때의 몫을 $ Q(x) $, 나머지를 $ R $이라 하면
\begin{gather*}
f(x) = ( x-\alpha ) Q(x) + R
\end{gather*}$ x = \alpha $를 대입하면
\begin{gather*}
f(\alpha) = 0 \cdot Q(\alpha) + R \ \ \ \therefore \ \ R = f(\alpha)
\end{gather*} - $ x $에 대한 다항식 $ f(x) $를 $ ax+b $로 나누었을 때의 몫을 $ Q(x) $, 나머지를 $ R $이라 하면
\begin{gather*}
f(x) = ( ax+b ) Q(x) + R
\end{gather*}이고, 양변에 $ x = - \dfrac{b}{a} $를 대입하면
\begin{gather*}
f \left( - \dfrac{b}{a} \right) = 0 \cdot Q \left( - \dfrac{b}{a} \right) + R \ \ \ \therefore \ \ R = f \left( - \dfrac{b}{a} \right)
\end{gather*}
$ x $에 대한 다항식 $ f(x) = x^3 + ax^2 - 2x + 4 $를 $ x-2 $로 나누었을 때의 나머지는 $ 4 $일 때, 이 다항식을 $ x-1 $로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
$ x-2 $로 나누었을 때의 나머지가 $ 4 $이므로 $ f(2)=4 $
$ f(2) = 8 + 4a - 4 + 4 = 4 \ \ \ \therefore \ \ a=-1 $
$ f(x) $를 $ x-1 $로 나누었을 때의 나머지는 $ f(1) $이므로
$ f(1) = 1 + (-1) - 2 + 4 = 2 $
인수정리
$ x $에 대한 다항식 $ f(x) $에 대하여
- $ f(x) $가 $ x-\alpha $로 나누어 떨어지면 $ f( \alpha ) = 0 $이다.
- $ f( \alpha ) = 0 $이면 $ f(x) $는 $ x-\alpha $로 나누어 떨어진다.
다항식 $ x^6 + ax^5 +bx^4 + 4 $가 $ x-1 $과 $ x+1 $을 인수로 가질 때, 상수 $ a $, $ b $의 값을 구하여라.
$ f(x) = x^6 + ax^5 +bx^4 + 4 $로 놓으면, $ f(1) = 0 $, $ f(-1) = 0 $
$ f(1) = 1 + a + b + 4 = 0 \ \ \ \therefore \ \ a + b = -5 $
$ f(-1) = 1 - a + b + 4 = 0 \ \ \ \therefore \ \ a - b = 5 $
연립하여 $ a $, $ b $의 값을 구하면 $ a=0 $, $ b=-5 $
2018/01/12 14:15수학 공식
