수학 공식 | 고등학교 > 원의 접선의 방정식

원의 접선의 방정식 – 접점이 주어진 경우

원 $ x^2 + y^2 = r^2 $ 위의 점 $ P(x_1, \ y_1) $에서의 접선의 방정식은

\begin{gather*}
x_1 x + y_1 y = r^2
\end{gather*}

점 $ P $가 좌표축 위의 점이 아닌 경우, 원의 중심 $ (0, \ 0) $과 접점 $ P(x_1, \ y_1) $을 잇는 선분의 기울기는 $ \dfrac{y_1}{x_1} $이므로 접선의 기울기는 $ – \dfrac{x_1}{y_1} $이다. 따라서 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y – y_1 = – \frac{x_1}{y_1} ( x – x_1 ) \ \ \ \therefore \ \ x_1 x + y_1 y = r^2
\end{gather*}

점 $ P $가 좌표축 위의 점인 경우, 점 $ P $의 좌표는 $ (0, \ \pm r) $ 또는 $ ( \pm r, \ 0 ) $고, 접선의 방정식은 $ y = \pm r $ 또는 $ x = \pm r $이다. 이 경우에도 $ x_1 x + y_1 y = r^2 $이 성립한다.

원 $ x^2 + y^2 = 25 $ 위의 점 $ (3, \ 4) $에서의 접선의 방정식을 구하여라.

$ 3x + 4y = 25 $

원 $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 $ 위의 점 $ (4, \ 6) $에서의 접선의 방정식을 구하여라.

원의 중심과 접점을 잇는 선분의 기울기는

\begin{gather*}
\frac{6-2}{4-1} = \frac{4}{3}
\end{gather*}

이므로 접선의 기울기는 $ – \dfrac{3}{4} $이다. 따라서 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y-6 = -\frac{3}{4} (x-4) \ \ \therefore \ \ y = – \frac{3}{4} x + 9
\end{gather*}

원의 접선의 방정식 – 기울기가 주어진 경우

원 $ x^2 + y^2 = r^2 $에 접하고 기울기가 $ m $인 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y = mx \pm r \sqrt{m^2 + 1}
\end{gather*}

접선의 방정식을

\begin{gather*}
y = mx + n \ \ \therefore \ \ mx – y + n = 0
\end{gather*}

으로 놓는다. 원의 중심 $ (0, \ 0) $과 접선 사이의 거리가 반지름의 길이 $ r $과 같으므로

\begin{gather*}
\frac{| n |}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = r \ \ \therefore \ \ n = \pm r \sqrt{m^2 + 1}
\end{gather*}

따라서 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y = mx \pm r \sqrt{m^2 + 1}
\end{gather*}

원 $ x^2 + y^2 = 4 $의 접선 중 기울기가 $ 2 $인 접선의 방정식을 구하여라.

$ y = 2x \pm 2 \sqrt{5} $

원 $ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4 $의 접선 중 기울기가 $ 2 $인 접선의 방정식을 구하여라.

접선의 방정식을 $ y = 2x + n $, 즉 $ 2x – y + n = 0 $으로 놓는다. 원의 중심 $ (2, \ 3) $과 직선 사이의 거리가 $ 2 $이므로

\begin{gather*}
\frac{| 4-3+n |}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 2 \ \ \therefore \ \ n = -1 \pm 2 \sqrt{5}
\end{gather*}

따라서 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y = 2x -1 \pm 2 \sqrt{5}
\end{gather*}

원의 접선의 방정식 – 원 밖의 한 점이 주어진 경우

원 밖의 한 점 $ (a, \ b) $에서 그은 접선의 방정식은 다음 중 하나의 방법으로 구한다.

  1. 접점의 좌표를 $ (x_1, \ y_1) $로 가정하고 접선의 방정식을 세운 후, 접선의 방정식에 $ (a, \ b) $를 대입한다.
  2. 점 $ (a, \ b) $를 지나고 기울기가 $ m $인 직선의 방정식을 세운 후,
    \begin{gather*}
    (\textrm{원의 중심과 직선 사이의 거리}) = (\textrm{반지름의 길이})
    \end{gather*}임을 이용한다.
  • 두번째 방식은 $ x $축에 수직인 접선의 방정식은 구할 수 없다는 것에 주의한다.

원 $ x^2 + y^2 = 8 $ 밖의 점 $ (4, \ 0) $에서 원에 그은 접선의 방정식을 구하여라.

  1. 접점의 좌표를 $ (a, \ b) $라고 하면, 이 점은 원 위의 점이므로 $ a^2 + b^2 = 8 $을 만족하고, 접선의 방정식은 $ ax + by = 8 $이다. 이 직선은 $ (4, \ 0) $을 지나므로
    \begin{gather*}
    4a = 8 \ \ \therefore \ \ a=2
    \end{gather*}이고, 이를 $ a^2 + b^2 = 8 $에 대입하면 $ b = \pm 2 $이다. 따라서 접선의 방정식은
    \begin{gather*}
    y = x – 4, \ \ y = – x + 4
    \end{gather*}
  2. 접선의 기울기를 $ m $이라 하면, 기울기가 $ m $이고 $ (4, \ 0) $을 지나는 직선이므로 접선의 방정식은 다음과 같다.
    \begin{gather*}
    y – 0 = m(x-4) \ \ \therefore \ \ mx – y – 4m = 0
    \end{gather*}원의 중심 $ (0, \ 0) $과 접선 사이의 거리가 $ 2 \sqrt{2} $이므로
    \begin{gather*}
    \frac{|-4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \sqrt{2}, \ \ \therefore \ \ m = \pm 1
    \end{gather*}따라서 접선의 방정식은
    \begin{gather*}
    y = x – 4, \ \ y = – x + 4
    \end{gather*}

잡동사니

  • 두 원의 반지름의 길이가 $ r, \ r’ \ ( r > r’) $, 중심 사이의 길이가 $ d $일 때
    공통외접선의 길이 : $ \sqrt{ d^2 – (r-r’)^2} $
    공통내접선의 길이 : $ \sqrt{ d^2 – (r+r’)^2} $