수학 공식 | 고등학교 > 여러 가지 수열의 합

일반항이 분수 꼴인 수열의 합

일반항이 분수 꼴인 경우

  1. 분모가 서로 다른 두 식의 곱으로 나타나는 수열의 합은
    \begin{gather*}
    \frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} – \frac{1}{B} \right)
    \end{gather*}를 이용하여 구한다.
  2. 분모가 서로 다른 두 무리식의 합으로 나타나는 수열의 합은 분모를 유리화하여 구한다.

다음 식의 값을 구하여라.

\begin{gather*}
\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+1)}
\end{gather*}

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+1)} &= \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \right) \\
& = \left( 1 – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{11} \right) \\
& = \frac{10}{11}
\end{align*}

다음 식의 값을 구하여라.

\begin{gather*}
\sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}
\end{gather*}

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{15} & \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{15} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \\
& = (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{16}-\sqrt{15}) \\
& = 3
\end{align*}