수학 강좌 | 고등학교 > 여러 가지 미분법 > 이계도함수

이계도함수는 도함수의 도함수에요. 어떤 함수를 한 번 미분하면 도함수가 나오니까, 다시 한 번 미분하면 이계도함수가 나와요.

함수 $ f(x) $의 도함수의 정의가

\begin{gather*}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}
\end{gather*}

니까, 이계도함수의 정의는

\begin{gather*}
\lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) – f'(x)}{h}
\end{gather*}
가 되겠네요.

예를 들어 $ f(x) = x^3 $이라 하면, 도함수는

\begin{gather*}
3x^2
\end{gather*}

이고, 이계도함수는 한 번 더 미분해서

\begin{gather*}
6x
\end{gather*}

입니다.

도함수를 구할 줄 알면 이계도함수를 구하는 건 어렵지 않아요. 어려운 건 해석을 하는 거죠. 이계도함수의 해석에 대한 이야기는 따로 하도록 하고, 이계도함수의 표현법에 대해 설명을 할게요.

일단 $ y=f(x) $의 도함수는

\begin{gather*}
y’, \ \ f'(x), \ \ \frac{dy}{dx}, \ \ \frac{d}{dx} f(x)
\end{gather*}

로 표현해요. 이계도함수는

\begin{gather*}
y”, \ \ f”(x), \ \ \frac{d^2 y}{dx^2}, \ \ \frac{d}{dx^2} f(x)
\end{gather*}

처럼 나타내요. 세 번째와 네 번째 방식이 좀 이상할텐데, 네 번째는 세 번째의 $ y $ 자리에 $ f(x) $를 넣은 것이니 세 번째 방식이 어떻게 만들어진 건지만 이해하면 되겠네요.

\begin{gather*}
\frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{ddy}{dxdx} = \frac{d^2 y}{dx^2}
\end{gather*}

분모의 $ dx^2 $은 $ (dx)^2 $을 줄여쓴 거라 보면 됩니다.