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인수분해

하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 하고, 곱을 이루는 각각의 다항식을 그 다항식의 인수라 한다.

인수분해 공식

  1. $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $
  2. $ a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 $
  3. $ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $
  4. $ x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) $
  5. $ acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d) $
  6. $ x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc \\= (x+a)(x+b)(x+c) $
  7. $ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = (a+b+c)^2 $
  8. $ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 $
  9. $ a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = (a-b)^3 $
  10. $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $
  11. $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
  12. $ a^3+b^3+c^3-3abc \\= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $
  13. $ a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) $

인수분해 방법

  1. 공통인수가 있으면 묶는다.
  2. 인수분해 공식을 이용하여 인수분해한다.
  3. 공통부분이 있으면 치환한다.
  4. 복이차식인 경우 치환하거나 $ A^2 – B^2 $의 꼴로 변형한다.
  5. 여러 개의 문자를 포함한 경우 차수가 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
  6. 삼차 이상의 식인 경우 인수정리를 이용한다.

다음 식을 인수분해하여라.

  1. $ x^4 – 3x^2 – 4 $
  2. $ x^4 + 3x^2 + 4 $
  1. $ x^2 = X $로 치환하여 인수분해한다.
    \begin{align*}
    X^2 – 3X – 4 &= (X-4)(X+1) = (x^2 – 4)(x^2 + 1) \\
    &= (x+2)(x-2)(x^2+1)
    \end{align*}
  2. $ A^2 – B^2 $의 꼴로 변형하여 인수분해한다.
    \begin{align*}
    x^4 + 4x^2 + 4 – x^2 &= (x^2+2)^2 – x^2 \\
    &= (x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 – x) \\
    &= (x^2 + x + 2)(x^2 – x + 2)
    \end{align*}

다음 식을 인수분해하여라.

\begin{gather*}
x^2+3xy+2y^2-x-3y-2
\end{gather*}

$ x $에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해한다.

\begin{align*}
& x^2 + (3y-1)x + 2y^2 – 3y – 2 \\
& = x^2 + (3y-1)x + (y-2)(2y+1) \\
& = (x+y-2)(x+2y+1)
\end{align*}

다음 식을 인수분해하여라.

\begin{gather*}
x^3 – 6x^2 + 11x – 6
\end{gather*}

$ x=1 $을 대입하면 $ 0 $이므로 $ x-1 $을 인수로 가진다.

$ (x-1)(x^2 – 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3) $