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등비급수

첫째항이 $ a $, 공비가 $ r $인 등비수열 $ \left\{ ar^{n-1} \right\} $에서 얻은 급수

\begin{gather*}
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots
\end{gather*}

을 첫째항이 $ a $, 공비가 $ r $인 등비급수라고 한다. (단, $ a \neq 0 $)

등비급수의 합

등비급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} $은 $ |r| < 1 $일 때 수렴하고, 그 합은

\begin{gather*}
\dfrac{a}{1-r}
\end{gather*}

이다. (단, $ a \neq 0 $)

급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} $이 수렴할 조건은 $ a = 0 $ 또는 $ -1 < r < 1 $이다.

다음 급수가 수렴할 조건을 구하여라.

\begin{gather*}
\sum_{n=1}^{\infty} (x-1)(x-3)^{n-1}
\end{gather*}

$ x-1=0 $이면 수렴하므로 $ x=1 $

$ -1 < x-3 < 1 $이면 수렴하므로 $ 2 < x < 4 $

$ \therefore \ \ \ x=1 $ 또는 $ 2 < x < 4 $

다음 급수의 합을 구하여라.

\begin{gather*}
\sum_{n=1}^{\infty} 4 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}
\end{gather*}

등비수열의 첫째항이 $ 4 $, 공비가 $ \dfrac{1}{2} $이므로

\begin{gather*}
\frac{4}{1 – \dfrac{1}{2}} = 8
\end{gather*}