수학 공식 | 고등학교 > 접선의 방정식

접점이 주어진 경우

곡선 $ y = f(x) $ 위의 점 $ (a, \ f(a)) $에서의 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y-f(a) = f'(a)(x-a)
\end{gather*}

곡선 $ y = x^3 – x $ 위의 점 $ (2, \ 6) $에서의 접선의 방정식을 구하여라.

$ y’ = 3x^2 – 1 $이므로 $ x=2 $에서의 접선의 기울기는 $ 11 $이다. 따라서 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y – 6 = 11(x-2) \ \ \therefore \ \ y=11x-16
\end{gather*}

기울기가 주어진 경우

곡선 $ y = f(x) $에 접하고 기울기가 $ m $이 접선의 방정식은

  1. 접점의 $ x $좌표를 $ a $로 놓는다.
  2. $ f'(a) = m $을 만족하는 $ a $를 구한다.
  3. 기울기 $ m $과 접점의 좌표 $ (a, \ f(a)) $를 이용해서 접선의 방정식을 구한다.

곡선 $ y = x^3 $의 접선 중 기울기가 $ 3 $인 접선의 방정식을 구하여라.

$ y’ = 3x^2 $이고, 접점의 $ x $좌표를 $ a $라고 하면,

\begin{gather*}
3a^2 = 3 \ \ \therefore \ \ a = \pm 1
\end{gather*}

$ a=1 $일 때 접점의 좌표는 $ (1, \ 1) $이고, 이 때 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y-1 = 3 (x-1) \ \ \therefore \ \ y = 3x-2
\end{gather*}

$ a=-1 $일 때 접점의 좌표는 $ (-1, \ -1) $이고, 이 때 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y-(-1) = 3 (x-(-1)) \ \ \therefore \ \ y = 3x+2
\end{gather*}

곡선 밖의 점이 주어진 경우

곡선 $ y = f(x) $ 밖의 점 $ (x_1, \ y_1) $에서 곡선에 그은 접선의 방정식은

  1. 접점의 좌표를 $ (a, \ f(a)) $로 놓고 접선의 방정식을 구한다.
  2. $ x=x_1 $, $ y=y_1 $을 대입하여 $ a $를 구한다.

점 $ (0, \ 2) $에서 곡선 $ y=x^3-x $에 그은 접선의 방정식을 구하여라.

접점의 좌표를 $ (a, \ a^3-a) $로 놓으면 접선의 기울기는 $ 3a^2-1 $이므로 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y – (a^3-a) = (3a^2-1)(x-a) \\ \therefore \ \ y = (3a^2-1)x – 2a^3
\end{gather*}

접선이 점 $ (0, \ 2) $를 지나야 하므로 $ x=0 $, $ y=2 $를 대입하면

\begin{gather*}
2 = (3a^2-1) \cdot 0 – 2a^3 \ \ \therefore \ \ a = -1
\end{gather*}

이므로 접선의 방정식은

\begin{gather*}
y = ( 3 \cdot (-1)^2 – 1)x – 2 \cdot (-1)^3 \ \ \therefore \ \ y = 2x+2
\end{gather*}

두 곡선이 접할 조건

두 곡선 $ f(x) $, $ g(x) $가 $ x=a $에서 접할 조건은

\begin{gather*}
f(a) = g(a), \ \ f'(a) = g'(a)
\end{gather*}

두 곡선 $ y = x^3 + 3x $와 $ y=3x^2 + p $가 접하도록 하는 상수 $ p $의 값을 구하여라.

첫번째 곡선을 $ f(x) $, 두번째 곡선을 $ g(x) $라 하면

\begin{gather*}
f'(x) = 3x^2 + 3, \ \ g'(x) = 6x
\end{gather*}

접점의 $ x $좌표를 $ a $로 놓으면, $ f'(a) = g'(a) $이어야 하므로

\begin{gather*}
3a^3 + 3 = 6a \ \ \ \therefore \ \ a=1
\end{gather*}

$ f(a) = g(a) $이어야 하므로

\begin{gather*}
a^3 + 3a = 3a^2 + p \ \ \ \therefore \ \ p=1
\end{gather*}