수학 공식 | 고등학교 > 확률의 덧셈정리와 여사건의 확률
확률의 덧셈정리
- 두 사건 $ A $, $ B $에 대하여
$ \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) $ - 두 사건 $ A $, $ B $가 서로 배반사건이면
$ \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) $
- $ \mathrm{P}(A \cup B) = \dfrac{n(A \cup B)}{n(S)} = \dfrac{n(A) + n(B) - n(A \cap B)}{n(S)} \\
= \dfrac{n(A)}{n(S)} + \dfrac{n(B)}{n(S)} - \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} \\
= \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) $ - $ A \cap B = \varnothing $이면 $ \mathrm{P}(A \cap B) = 0 $
$ 1 $부터 $ 100 $까지의 자연수 중에서 하나를 선택할 때, $ 3 $의 배수 또는 $ 4 $의 배수를 선택할 확률을 구하여라.
$ 3 $의 배수를 선택하는 사건을 $ A $, $ 4 $의 배수를 선택하는 사건을 $ B $라 하면, $ 3 $의 배수 또는 $ 4 $의 배수를 선택하는 사건은 $ A \cup B $이다.
\begin{align*}
\mathrm{P}(A \cup B) & = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) \\
&= \frac{33}{100} + \frac{25}{100} - \frac{8}{100} = \frac{1}{2}
\end{align*}
여사건의 확률
사건 $ A $에 대한 여사건 $ A^c $의 확률은
\begin{gather*}
\mathrm{P}(A^c) = 1 - \mathrm{P}(A)
\end{gather*}
$ \mathrm{P}(A^c) = \dfrac{n(S) - n(A)}{n(S)} = \dfrac{n(S)}{n(S)} - \dfrac{n(A)}{n(S)} = 1 - \mathrm{P}(A) $
$ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $의 네 개의 숫자로 중복을 허락하여 세 자리의 정수를 만들 때, $ 4 $가 포함될 확률을 구하여라.
$ 4 $를 포함하는 사건을 $ A $라 하면, $ 4 $를 포함하지 않는 사건은 $ A^c $이다.
\begin{gather*}
\mathrm{P}(A^c) = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}
\end{gather*}
이므로
\begin{gather*}
\mathrm{P}(A) = 1 - \mathrm{P}(A^c) = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}
\end{gather*}
