수학 공식 | 고등학교 > 합의 기호 ∑의 뜻과 성질

합의 기호 $ \sum $

수열 $ \{ a_n \} $의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합

\begin{gather*}
a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n
\end{gather*}

을 합의 기호 $ \sum $를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

\begin{gather*}
\sum_{k=1}^{n} a_k
\end{gather*}

합의 기호 $ \sum $의 성질

  1. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c = cn $
  2. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k $
  3. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} ( a_k \pm b_k ) = \sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k $

⑴의 증명

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} c = c + c + c + c + \cdots + c = cn
\end{align*}

⑵의 증명

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} c a_k &= ca_1 + ca_2 + ca_3 + ca_4 + \cdots + ca_n \\
&= c ( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots + a_n )
= c \sum_{k=1}^{n} a_k
\end{align*}

⑶의 증명

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} ( a_k \pm b_k ) &= ( a_1 \pm b_1 ) + ( a_2 \pm b_2 ) + \cdots + ( a_n \pm b_n ) \\
&= ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n ) \pm ( b_1 + b_2 + \cdots + b_n ) \\
&= \sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k
\end{align*}

자연수의 거듭제곱의 합

  1. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} $
  2. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
  3. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 $

⑴의 증명

첫째항이 $ 1 $, 제$ n $항이 $ n $인 등차수열의 합이므로 $ \dfrac{n(1+n)}{2} $

⑵의 증명

$ (k+1)^3 – k^3 = 3k^2 + 3k + 1 $

$ k=1 $을 대입하면 \ $ 2^3 – 1^3 = 3 \times 1^2 + 3 \times 1 + 1 $

$ k=2 $을 대입하면 \ $ 3^3 – 2^3 = 3 \times 2^2 + 3 \times 2 + 1 $

$ k=3 $을 대입하면 \ $ 4^3 – 3^3 = 3 \times 3^2 + 3 \times 3 + 1 $

    $ \vdots $

$ k=n $을 대입하면 \ $ (n+1)^3 – n^3 = 3 \times n^2 + 3 \times n + 1 $

변변 더하면

$ \displaystyle (n+1)^3 – 1^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 $

\begin{align*}
\therefore \ \ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}

⑶의 증명

$ (k+1)^4 – k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 $을 이용하여 ⑵와 같은 방법으로 증명한다.