수학 공식 | 고등학교 > 몫의 미분법

몫의 미분법

두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 미분가능하고 $ g(x) \neq 0 $일 때

  1. $ \left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right\}’ = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{ g(x) \}^2} $
  2. $ \left\{ \dfrac{1}{g(x)} \right\}’ = -\dfrac{g'(x)}{\{ g(x) \}^2} $

⑴의 증명

\begin{align*}
\left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right\}’ & = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(x+h)}{g(x+h)} – \frac{f(x)}{g(x)} \right\} \\
& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h) g(x)} \right\} \\
& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h) g(x)} \right\} \\
& = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} g(x) – f(x) \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)} \\
& = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g(x)’}{\{ g(x) \}^2}
\end{align*}

⑵의 증명

\begin{align*}
\left\{ \dfrac{1}{g(x)} \right\}’ = \frac{0 \cdot g(x) – 1 \cdot g'(x)}{\{ g(x) \}^2} = – \frac{g'(x)}{\{ g(x) \}^2}
\end{align*}

함수 $ f(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} $의 도함수 $ f'(x) $를 구하여라.

$\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{(x^2 + 2x)'(x^2 + 1) – (x^2 + 2x) (x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} & \\
&= \frac{(2x + 2)(x^2 + 1) – (x^2 + 2x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \\
&= \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}
\end{aligned}$

함수 $ f(x) = \dfrac{1}{x^2 – x + 1} $의 도함수 $ f'(x) $를 구하여라.

$ f'(x) = – \dfrac{(x^2 – x + 1)’}{(x^2 – x + 1)^2} = \dfrac{-2x+1}{(x^2 – x + 1)^2} $

$ \boldsymbol{ x^n } $ ($ \boldsymbol{ n } $은 정수)의 도함수

$ n $이 정수일 때 $ x^{n} $의 도함수는

\begin{gather*}
\left\{ x^{n} \right\}’ = n x^{n-1}
\end{gather*}

$ n $이 양의 정수일 때 성립

$ n=0 $일 때 $ ( x^0 )’ = 0 \cdot x^{0-1} = 0 $이므로 성립

$ n $이 음의 정수일 때 $ n = -m $ ($ m $은 양의 정수)로 놓을 수 있고

\begin{gather*}
\left\{ x^{-m} \right\}’ = \left\{ \frac{1}{x^m} \right\}’ = – \frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} = – mx^{-m-1} = n x^{n-1}
\end{gather*}

이므로 성립

함수 $ f(x) = \dfrac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} $의 도함수를 구하여라.

$ f(x) = x^2 + 1 + x^{-2} $

$ f'(x) = 2x -2 x^{-3} $

여러 가지 삼각함수의 도함수

  1. $ \left\{ \tan x \right\}’ = \sec^2 x $
  2. $ \left\{ \cot x \right\}’ = -\csc^2 x $
  3. $ \left\{ \csc x \right\}’ = -\csc x \cot x $
  4. $ \left\{ \sec x \right\}’ = \sec x \tan x $

⑴의 증명

\begin{align*}
\left\{ \tan x \right\}’ &= \left\{ \frac{\sin x}{\cos x} \right\}’ = \frac{(\sin x)’ \cdot \cos x – \sin x \cdot (\cos x)’}{\cos^2 x} & \\
&= \frac{\cos x \cos x – \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x
\end{align*}

⑵의 증명

\begin{align*}
\left\{ \cot x \right\}’ &= \left\{ \frac{\cos x}{\sin x} \right\}’ = \frac{(\cos x)’ \cdot \sin x – \cos x \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x} & \\
&= \frac{-\sin x \sin x – \cos x \cos x}{\sin^2 x} = – \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \\
&= -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x
\end{align*}

⑶의 증명

\begin{align*}
\left\{ \csc x \right\}’ &= \left\{ \frac{1}{\sin x} \right\}’ = -\frac{(\sin x)’}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} &\\
& = – \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x
\end{align*}

⑷의 증명

\begin{align*}
\left\{ \sec x \right\}’ &= \left\{ \frac{1}{\cos x} \right\}’ = -\frac{(\cos x)’}{\cos^2 x} = -\frac{-\sin x}{\cos^2 x} &\\
& = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x
\end{align*}