수학 공식 | 고등학교 > 지수의 확장과 지수법칙

0 또는 음의 정수 지수의 정의

$ a \neq 0 $이고 $ n $이 양의 정수일 때

  1. $ a^0 = 1 $
  2. $ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} $

지수가 정수일 때 지수법칙

$ a \neq 0 $, $ b \neq 0 $이고, $ m $, $ n $이 정수일 때

  1. $ a^m \times a^n = a^{m+n} $
  2. $ a^m \div a^n = a^{m-n} $
  3. $ \left( a^m \right)^n = a^{mn} $
  4. $ \left( ab \right)^n = a^n b^n $

유리수 지수의 정의

$ a>0 $이고 $ m $, $ n \ (n \geq 2) $이 정수일 때

  1. $ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $
  2. $ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $

지수가 유리수일 때 지수법칙

$ a > 0 $, $ b > 0 $이고, $ r $, $ s $가 유리수일 때

  1. $ a^r \times a^s = a^{r+s} $
  2. $ a^r \div a^s = a^{r-s} $
  3. $ \left( a^r \right)^s = a^{rs} $
  4. $ \left( ab \right)^r = a^r b^r $

지수가 실수일 때 지수법칙

$ a > 0 $, $ b > 0 $이고, $ x $, $ y $가 실수일 때

  1. $ a^x \times a^y = a^{x+y} $
  2. $ a^x \div a^y = a^{x-y} $
  3. $ \left( a^x \right)^y = a^{xy} $
  4. $ \left( ab \right)^x = a^x b^x $

다음 식을 간단히 하여라.

  1. $ 18^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{2}{3}} \div 24^{\frac{1}{3}} $
  2. $ \sqrt{\sqrt[3]{a}} \times \sqrt[3]{\sqrt[4]{a^{10}}} $
  1. $ (2 \times 3^2)^{\frac{2}{3}} \times (2^2)^{\frac{2}{3}} \div (2^3 \times 3)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-1} \times 3^{\frac{4}{3} – \frac{1}{3}} = 6 $
  2. $ a^{\frac{1}{6}} \times a^{\frac{10}{12}} = a $