수학 공식 | 고등학교 > 이차방정식의 실근과 허근

이차방정식의 실근과 허근

  1. 계수가 실수인 $ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 $의 근의 공식은
    \begin{gather*}
    x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
    \end{gather*}이다. 이때 $ b^2-4ac \geq 0 $이면 근이 실수가 되고, $ b^2-4ac < 0 $이면 근이 허수가 된다.
  2. 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라 한다.
  • 계수가 실수인 이차방정식은 복소수의 범위에서 반드시 근을 가진다.
  • 특별한 언급이 없는 한 방정식의 해는 복소수의 범위에서 구한다.

이차식의 인수분해

이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 $ 의 두 근을 $ \alpha $, $ \beta $라 하면 이차식 $ ax^2+bx+c $는

\begin{gather*}
ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)
\end{gather*}

로 인수분해된다. 따라서 계수가 실수인 이차식은 복소수의 범위에서 항상 두 일차식의 곱으로 인수분해된다.