수학 공식 | 고등학교 > 미분가능성과 연속성

미분가능

함수 $ f(x) $의 $ x=a $에서의 미분계수

\begin{gather*}
f'(a)
\end{gather*}

가 존재하면 함수 $ f(x) $는 $ x=a $에서 미분가능하다고 한다.

미분가능함수

  1. 함수 $ f(x) $가 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $ x $의 값에서 미분가능하면 함수 $ f(x) $는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.
  2. 함수 $ f(x) $가 정의역에 속하는 모든 $ x $의 값에서 미분가능하면 함수 $ f(x) $는 미분가능한 함수라고 한다.

미분가능성과 연속성 사이의 관계

함수 $ f(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하면 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속이다. 그러나 함수 $ f(x) $가 $ x=a $에서 연속이라고 해서 $ f(x) $가 항상 $ x=a $에서 미분가능한 것은 아니다.

함수 $ f(x) = x^2 $가 $ x=1 $에서 미분가능한가?

$ \displaystyle f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 – 1^2}{h} = 2 $

$ f'(1) $이 존재하므로 함수 $ f(x) $는 $ x=1 $에서 미분가능하다.

함수 $ f(x) = |x| $가 $ x=0 $에서 미분가능한가?

$ \displaystyle f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|0+h| – |0|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} $이고

\begin{align*}
\lim_{h \to 0-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0-} \frac{-h}{h} = – 1, \ \
\lim_{h \to 0+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0+} \frac{h}{h} = 1
\end{align*}

좌극한과 우극한의 값이 다르므로 $ f'(0) $은 존재하지 않는다. 따라서 미분 불가능하다.