수학 공식 | 고등학교 > 명제 ‘$ p $이면 $ q $이다’

조건으로 이루어진 명제

두 조건 $ p $, $ q $에 대하여 ‘$ p $ 이면 $ q $이다.’의 꼴로 되어 있는 명제를 기호로

\begin{gather*}
p \longrightarrow q
\end{gather*}

와 같이 나타낸다. 이때 조건 $ p $를 가정, 조건 $ q $를 결론이라고 한다.

명제 $ \boldsymbol{ p \longrightarrow q } $의 참, 거짓

명제 $ p \longrightarrow q $에 대하여 두 조건 $ p $, $ q $의 진리집합을 각각 $ P $, $ Q $라 할 때

  1. 명제 $ p \longrightarrow q $가 참이면 $ P \subset Q $이고, $ P \subset Q $이면 명제 $ p \longrightarrow q $가 참이다.
  2. 명제 $ p \longrightarrow q $가 거짓이면 $ P \not\subset Q $이고, $ P \not\subset Q $이면 명제 $ p \longrightarrow q $가 거짓이다.

다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라.

  1. $ x = 1 $이면 $ x^2 = 1 $이다.
  2. $ x^2 – 3x + 2 = 0 $이면 $ x=1 $이다.
  1. 가정의 진리집합은 $ \{ 1 \} $, 결론의 진리집합은 $ \{ -1, \ 1 \} $이므로 참이다.
  2. 가정의 진리집합은 $ \{ 1, \ 2 \} $, 결론의 진리집합은 $ \{ 1 \} $이므로 거짓이다.

반례

가정 $ p $는 만족하지만 결론 $ q $를 만족하지 않는 예가 하나라도 있으면 명제 $ p \longrightarrow q $가 거짓이다. 이와 같은 예를 반례라고 한다.

다음 명제가 거짓임을 보이는 반례를 구하여라.

$ x^2 = 1 $이면 $ x=1 $이다.

$ -1 $은 가정을 만족하지만 결론을 만족하지 않는다. 따라서 반례는 $ -1 $이다.