수학 공식 | 고등학교 > 삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리

  1. $ \sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
  2. $ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta $
  3. $ \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta $
  4. $ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $
  5. $ \displaystyle \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} $
  6. $ \displaystyle \tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} $

다음 값을 구하여라.

  1. $ \sin 75^\circ $
  2. $ \sin 15^\circ $
  3. $ \cos 80^\circ \cos 40^\circ – \sin 80^\circ \sin 40^\circ $
  4. $ \cos 110^\circ \cos 65^\circ + \sin 110^\circ \sin 65^\circ $
  1. $ \sin 75^\circ = \sin( 45^\circ + 30^\circ ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $
  2. $ \sin 15^\circ = \sin( 45^\circ – 30^\circ ) = \dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} $
  3. $ \cos(80^\circ + 40^\circ) = -\dfrac{1}{2} $
  4. $ \cos(110^\circ – 65^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $

삼각함수의 합성

$ a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) $

$ \left( \textrm{단}, \ \sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) $

다음 함수의 최댓갓, 최솟값, 주기를 구하여라.

\begin{gather*}
y = \sin x + \cos x
\end{gather*}

$ y = \sqrt{2} \sin(x + 45^\circ) $이므로, 최댓값은 $ {\sqrt{2}} $, 최솟값은 $ {-\sqrt{2}} $, 주기는 $ {2\pi} $이다.

잡동사니 – 삼각함수의 덧셈정리의 응용

  1. $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
  2. $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha -1 = 1-2 \sin^2 \alpha $
  3. $ \displaystyle \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} $
  4. $ \displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2} $
  5. $ \displaystyle \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2} $
  6. $ \displaystyle \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} $