수학 공식 | 고등학교 > 확률의 곱셈정리와 독립시행의 확률
확률의 곱셈정리
- 두 사건 $ {A} $와 $ {B} $가 동시에 일어날 확률은
\begin{align*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(A|B)
\end{align*} - 서로 독립인 두 사건 $ {A} $와 $ {B} $가 동시에 일어날 확률은
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B)
\end{gather*}
- $ \mathrm{P}(B|A) = \dfrac{\mathrm{P}({A} \cap {B})}{\mathrm{P}(A)} $에서
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A)
\end{gather*}
$ \mathrm{P}(A|B) = \dfrac{\mathrm{P}({A} \cap {B})}{\mathrm{P}(B)} $에서
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(A|B)
\end{gather*}
흰 공 $ 4 $개, 붉은 공 $ 8 $개가 들어 있는 주머니가 있다. 갑이 먼저 공을 하나 꺼내고, 그 다음 을이 공을 하나 꺼낸다.
- 갑이 꺼낸 공을 다시 넣지 않을 때, 둘 다 흰 공을 꺼낼 확률을 구하여라.
- 갑이 꺼낸 공을 다시 넣을 때, 둘 다 흰 공을 꺼낼 확률을 구하여라.
갑이 흰 공을 꺼내는 사건을 $ A $, 을이 흰 공을 꺼내는 사건을 $ B $라 하면
- $ \displaystyle \mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{1}{11} $
- 두 사건은 서로 독립이므로
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) = \frac{4}{12} \times \frac{4}{12} = \frac{1}{9}
\end{gather*}
독립시행
매번 같은 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는 경우, 즉 매번 일어나는 사건이 서로 독립인 경우, 이러한 시행을 독립시행이라고 한다.
독립시행의 확률
한 번 시행에서 사건 $ A $가 일어날 확률이 $ p $이고, 이 시행을 독립적으로 $ n $회 반복할 때 사건 $ A $가 $ r $회 일어날 확률은
\begin{align*}
\phantom{}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r (1-p)^{n-r} \ \ ( r = 0, \ 1, \ 2, \ \cdots, \ n )
\end{align*}
동전을 $ 10 $번 던질 때, 앞면이 $ 3 $번 나올 확률을 구하여라.
$ \displaystyle \phantom{}_{10}\mathrm{C}_{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^{7} = \frac{15}{128} $
2018/06/25 17:41수학 공식
