수학 공식 | 고등학교 > 정적분으로 표시된 함수의 극한

정적분으로 표시된 함수의 극한

  1. $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(a) $
  2. $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{a}^{a+x} f(t) dt = f(a) $

$ F'(x) = f(x) $라 하면

  1. $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) dt = \lim_{x \rightarrow a} \frac{F(x) – F(a)}{x-a} = F'(a) = f(a) $
  2. $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{a}^{a+x} f(t) dt = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{F(a+x) – F(a)}{x} = F'(a) = f(a) $

다음 극한값을 구하여라.

  1. $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_{2}^{x} ( 3t^2 – 4 ) dt $
  2. $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 – 4} \int_{2}^{x} ( 3t^2 – 4 ) dt $

$ f(x) = 3x^2 – 4 $, $ F'(x) = f(x) $라 하면

  1. $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{F(x)-F(2)}{x-2} = F'(2) = f(2) = 8 $
  2. $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{F(x)-F(2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{4} F'(2) = \frac{1}{4} f(2) = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2 $

다음 극한값을 구하여라.

  1. $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{1}^{1+x} ( t^3 – 2t + 4 ) dt $
  2. $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{1}^{1+2x} ( t^3 – 2t + 4 ) dt $

$ f(x) = x^3 – 2x + 4 $, $ F'(x) = f(x) $라 하면

  1. $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{F(1+x)-F(1)}{x} = F'(1) = f(1) = 3 $
  2. $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{F(1+2x)-F(1)}{2x} \cdot 2 = F'(1) \cdot 2 = f(1) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6 $