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명제와 조건

  1. 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 한다.
  2. 미지수를 포함하는 문장이나 식이 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 결정될 때, 그 문장이나 식을 조건이라 한다.
  3. 전체집합 $ U $의 원소 중에서 조건을 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 진리집합이라 한다.
  • 명제와 조건은 보통 $ p $, $ q $, $ r $, $ \cdots $로 나타내고, 조건 $ p $, $ q $, $ r $의 진리집합은 각각 $ P $, $ Q $, $ R $로 나타낸다.

전체집합 $ U $가 자연수 전체의 집합일 때, 다음 조건 $ p $의 진리집합 $ {P} $를 구하여라.

\begin{gather*}
p \ : \ x^2 = 9
\end{gather*}

$ {P} = \left\{ 3 \right\} $

명제와 조건의 부정

  1. 명제 또는 조건 $ p $에 대하여 ‘$ p $가 아니다.’를 $ p $의 부정이라 하고, 이것을 기호로 $ \sim p $와 같이 나타낸다.
  2. 명제 또는 조건 $ p $에 대하여 $ \sim p $의 부정은 $ p $이다. 즉,
    \begin{gather*}
    \sim ( \sim p ) = p
    \end{gather*}
  3. 명제 $ p $가 참이면 $ \sim p $는 거짓이고, 명제 $ p $가 거짓이면 $ \sim p $는 참이다.
  4. 조건 $ p $의 진리집합을 $ P $라 하면 조건 $ \sim p $의 진리집합은 $ P^c $이다.
  5. 조건 ‘$ p $ 또는 $ q $’의 부정은 ‘$ \sim p $ 그리고 $ \sim q $’이다.
  6. 조건 ‘$ p $ 그리고 $ q $’의 부정은 ‘$ \sim p $ 또는 $ \sim q $’이다.

전체집합 $ {U} = \left\{ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5 \right\} $에 대하여 조건

\begin{gather*}
p \ : \ x^2 – 3x – 4 = 0
\end{gather*}

의 부정의 진리집합을 구하여라.

조건 $ p $의 진리집합은 $ \{ 4 \} $이므로, 조건 $ p $의 부정의 진리집합은 $ \{ 1, \ 2, \ 3, \ 5 \} $이다.