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합성함수의 미분법

미분가능한 두 함수 $ y=f(z) $, $ z=g(x) $에 대하여 합성함수 $ y = f(g(x)) $의 도함수는

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} \ \ \textrm{또는} \ \ \{ f(g(x)) \}’ = f'(g(x)) g'(x)
\end{gather*}

$\begin{aligned}
&\left\{ f(g(x)) \right\}’ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h)) – f(g(x))}{h} &&\\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left\{ \frac{f(g(x+h)) – f(g(x))}{g(x+h) – g(x)} \times \frac{g(x+h) – g(x)}{h} \right\} \\
&= f'(g(x)) g'(x)
\end{aligned}$

함수 $ y = ( x^2 + 1 )^{10} $의 도함수를 구하여라.

$ x^2 + 1 $를 하나의 문자로 보고 미분한 후, $ x^2 + $의 도함수를 곱한다.

\begin{gather*}
y’ = 10 ( x^2 + 1 )^9 ( x^2 + 1 )’ = 20x(x^2 + 1)^9
\end{gather*}

함수 $ f(x) = \sin 3x $의 도함수 $ f'(x) $를 구하여라.

$ f'(x) = \cos 3x \cdot (3x)’ = 3 \cos 3x $