수학 공식 | 고등학교 > 미지수가 2개인 연립이차방정식

미지수가 2개인 연립이차방정식의 풀이 1

일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식은 일차방정식을 변형하여 한 미지수를 다른 미지수로 나타낸 다음, 이차방정식에 대입하여 미지수가 $ 1 $개인 이차방정식으로 만들어 푼다.

다음 연립이차방정식을 풀어라.

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ x-y=1 \\ \ x^2 + y^2 = 5
\end{cases}
\end{gather*}

$ x = y+1 $을 $ x^2 + y^2 = 5 $에 대입하면

\begin{gather*}
(y+1)^2 + y^2 = 5 \ \ \ \therefore \ \ y=-2 \ \textrm{또는} \ y=1
\end{gather*}

$ y=-2 $일 때 $ x=-1 $, $ y=1 $일 때 $ x=2 $이므로 근은

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ x = -1 \\ \ y=-2
\end{cases}
\ \textrm{또는} \ \
\begin{cases}
\ x=2 \\ \ y=1
\end{cases}
\end{gather*}

미지수가 2개인 연립이차방정식의 풀이 2

이차방정식으로만 이루어진 연립이차방정식은

  1. 어느 한 이차식을 일차식의 곱으로 인수분해하여 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식으로 바꾸어 푼다.
  2. 최고차항을 소거하여 푼다.
  3. 상수항을 소거하여 푼다.

다음 연립이차방정식을 풀어라.

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ 2x^2 + xy – y^2 = 0 & \cdots \cdots \textrm{①} \\
\ x^2 + y^2 = 20 & \cdots \cdots \textrm{②}
\end{cases}
\end{gather*}

인수분해가 되면 인수분해한다.

①의 좌변을 인수분해하면 $ (x+y)(2x-y)=0 $

\begin{gather*}
y = -x \ \ \textrm{또는} \ \ y = 2x
\end{gather*}

$ y = -x $를 ②에 대입하면

\begin{gather*}
x^2 + (-x)^2 = 20 \ \ \ \therefore \ \ x = \pm \sqrt{10}, \ y = \mp \sqrt{10}
\end{gather*}

$ y = 2x $를 ②에 대입하면

\begin{gather*}
x^2 + (2x)^2 = 20 \ \ \ \therefore \ \ x = \pm 2, \ y = \pm 4
\end{gather*}

따라서 근은

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ x = \pm \sqrt{10} \\ \ y= \mp \sqrt{10}
\end{cases}
\ \textrm{또는} \ \
\begin{cases}
\ x= \pm 2 \\ \ y= \pm 4
\end{cases}
\ \ \textrm{(복부호동순)}
\end{gather*}

다음 연립이차방정식을 풀어라.

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ 2x^2 + 2y^2 + 3x + y = 12 & \cdots \cdots \textrm{①} \\
\ x^2 + y^2 + x – y = 6 & \cdots \cdots \textrm{②}
\end{cases}
\end{gather*}

인수분해가 되지 않으면 최고차항을 소거한다.

$ \textrm{①} – 2 \times \textrm{②} $를 하면

\begin{gather*}
x + 3y = 0 \ \ \ \therefore \ \ x = – 3y
\end{gather*}

②에 대입하면

\begin{gather*}
(-3y)^2 + y^2 + (-3y) – y = 6 \ \ \ \therefore \ \ y=1 \ \ 또는 \ \ y = – \frac{3}{5}
\end{gather*}

따라서 근은

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ x = -3 \\ \ y=1
\end{cases}
\ \textrm{또는} \ \
\begin{cases}
\ x=\dfrac{9}{5} \\ \ y=-\dfrac{3}{5}
\end{cases}
\end{gather*}

다음 연립이차방정식을 풀어라.

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ 2x^2 – 3xy – y^2 = -2 & \cdots \cdots \textrm{①} \\
\ x^2 – 3xy + 4y^2 = 2 & \cdots \cdots \textrm{②}
\end{cases}
\end{gather*}

인수분해가 되지 않고 최고차항을 소거할 수 없으면 상수항을 소거한다.

①과 ②를 변변 더하면

\begin{gather*}
3x^2 – 6xy + 3y^2 = 0 \ \ \ \therefore \ \ y = x
\end{gather*}

①에 대입하면

\begin{gather*}
2x^2 – 3x^2 – x^2 = -2 \ \ \ \therefore \ \ x = \pm 1
\end{gather*}

따라서 근은

\begin{gather*}
\begin{cases}
\ x = 1 \\ \ y=1
\end{cases}
\ \textrm{또는} \ \
\begin{cases}
\ x=-1 \\ \ y=-1
\end{cases}
\end{gather*}