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1. 두 실수 $ a $, $ b $ $ (a < b) $에 대하여 다음 범위에 있는 실수의 집합을 구간이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.
   \begin{align*}
   \left\{ x | a \leq x \leq b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ [ a, \ b ] \\
   \left\{ x | a < x < b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( a, \ b ) \\
   \left\{ x | a \leq x < b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ [ a, \ b ) \\
   \left\{ x | a < x \leq b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( a, \ b ]
   \end{align*}
2. $ [a, \ b] $를 닫힌 구간, $ (a, \ b) $를 열린 구간이라하고, $ [a, \ b) $, $ (a, \ b] $를 반닫힌 구간 또는 반열린 구간이라고 한다.
3. 실수 $ a $에 대하여 다음 범위에 있는 실수의 집합도 구간이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.
   \begin{align*}
   \left\{ x | x \leq a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( -\infty, \ a ] \\
   \left\{ x | x < a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( -\infty, \ a ) \\
   \left\{ x | x \geq a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ [ a, \ \infty ) \\
   \left\{ x | x > a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( a, \ \infty )
   \end{align*}
4. 실수 전체의 집합은 기호로 $ ( -\infty, \ \infty ) $와 같이 나타낸다.

1. 함수 $ f(x) $가 어떤 열린 구간의 모든 점에서 연속일 때, 함수 $ f(x) $는 그 구간에서 연속이라고한다.
2. 닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 정의된 함수 $ f(x) $가 열린 구간 $ (a, \ b) $에서 연속이고
   \begin{gather*}
   \lim_{x \to a+} f(x) = f(a), \ \ \lim_{x \to a-} f(x) = f(b)
   \end{gather*}일 때, 함수 $ f(x) $는 구간 $ [a, \ b] $에서 연속이라고 한다.

두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 $ x=a $에서 연속이면 다음 함수도 모두 $ x=a $에서 연속이다.

1. $ kf(x) $ (단, $ k $는 상수)
2. $ f(x) \pm g(x) $
3. $ f(x) g(x) $
4. $ \dfrac{f(x)}{g(x)} $ (단, $ g(a) \neq 0 $)

함수 $ f(x) $가 닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 연속이면 $ f(x) $는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 가진다.

함수 $ f(x) $가 닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 연속이고 $ f(a) \neq f(b) $일 때, $ f(a) $와 $ f(b) $ 사이의 임의의 값 $ k $에 대하여 $ f(c) = k $가 되는 $ c $가 구간 $ (a, \ b) $에 적어도 하나 존재한다.

닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 연속인 함수 $ f(x) $에 대하여

\begin{gather*}
f(a)f(b) < 0
\end{gather*}

이면 $ f(x) = 0 $은 구간 $ (a, \ b) $에서 적어도 한 개의 실근은 가진다.