수학 공식 | 고등학교 > 연속함수

구간

  1. 두 실수 $ a $, $ b $ $ (a < b) $에 대하여 다음 범위에 있는 실수의 집합을 구간이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.
    \begin{align*}
    \left\{ x | a \leq x \leq b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ [ a, \ b ] \\
    \left\{ x | a < x < b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( a, \ b ) \\
    \left\{ x | a \leq x < b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ [ a, \ b ) \\
    \left\{ x | a < x \leq b \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( a, \ b ]
    \end{align*}
  2. $ [a, \ b] $를 닫힌 구간, $ (a, \ b) $를 열린 구간이라하고, $ [a, \ b) $, $ (a, \ b] $를 반닫힌 구간 또는 반열린 구간이라고 한다.
  3. 실수 $ a $에 대하여 다음 범위에 있는 실수의 집합도 구간이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.
    \begin{align*}
    \left\{ x | x \leq a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( -\infty, \ a ] \\
    \left\{ x | x < a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( -\infty, \ a ) \\
    \left\{ x | x \geq a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ [ a, \ \infty ) \\
    \left\{ x | x > a \right\} \ \ &\rightarrow \ \ ( a, \ \infty )
    \end{align*}
  4. 실수 전체의 집합은 기호로 $ ( -\infty, \ \infty ) $와 같이 나타낸다.

연속함수

  1. 함수 $ f(x) $가 어떤 열린 구간의 모든 점에서 연속일 때, 함수 $ f(x) $는 그 구간에서 연속이라고한다.
  2. 닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 정의된 함수 $ f(x) $가 열린 구간 $ (a, \ b) $에서 연속이고
    \begin{gather*}
    \lim_{x \to a+} f(x) = f(a), \ \ \lim_{x \to a-} f(x) = f(b)
    \end{gather*}일 때, 함수 $ f(x) $는 구간 $ [a, \ b] $에서 연속이라고 한다.

연속함수의 성질

두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 $ x=a $에서 연속이면 다음 함수도 모두 $ x=a $에서 연속이다.

  1. $ kf(x) $ (단, $ k $는 상수)
  2. $ f(x) \pm g(x) $
  3. $ f(x) g(x) $
  4. $ \dfrac{f(x)}{g(x)} $ (단, $ g(a) \neq 0 $)
  • 다항함수는 모든 실수에 대하여 연속이다.
  • 분수함수는 분모를 $ 0 $으로 만드는 값을 제외한 모든 실수에서 연속이다.

최대 최소 정리

함수 $ f(x) $가 닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 연속이면 $ f(x) $는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 가진다.

사잇값 정리

함수 $ f(x) $가 닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 연속이고 $ f(a) \neq f(b) $일 때, $ f(a) $와 $ f(b) $ 사이의 임의의 값 $ k $에 대하여 $ f(c) = k $가 되는 $ c $가 구간 $ (a, \ b) $에 적어도 하나 존재한다.

사잇값 정리와 방정식의 실근

닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 연속인 함수 $ f(x) $에 대하여

\begin{gather*}
f(a)f(b) < 0
\end{gather*}

이면 $ f(x) = 0 $은 구간 $ (a, \ b) $에서 적어도 한 개의 실근은 가진다.

  • 닫힌 구간 $ [a, \ b] $에서 연속인 함수 $ f(x) $에 대하여
    \begin{gather*}
    f(a)f(b) > 0
    \end{gather*}이면 $ f(x) = 0 $은 구간 $ (a, \ b) $에서 실근을 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있다.

방정식 $ x^3 + 3x – 1 = 0 $은 열린 구간 $ (0, \ 1) $에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라.

$ f(x) = x^3 + 3x – 1 $라고 하면 함수 $ f(x) $는 닫힌 구간 $ [0, \ 1] $에서 연속이고

\begin{gather*}
f(0) = -1 < 0, \ \ f(1) = 3 > 0
\end{gather*}

이므로 사이값 정리에 의하여 $ f(c) = 0 $인 $ c $가 열린 구간 $ (0, \ 1) $에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 $ x^3 + 3x – 1 = 0 $은 열린 구간 $ (0, \ 1) $에서 적어도 하나의 실근을 가진다.