수학 공식 | 고등학교 > 함수의 극한에 대한 성질

함수의 극한에 대한 성질

$ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \alpha $, $ \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \beta $ ($ \alpha $, $ \beta $는 실수)일 때

  1. $ \displaystyle \lim_{x \to a} k f(x) = k \lim_{x \to a} f(x) = k\alpha $ (단, $ k $는 상수)
  2. $ \displaystyle \lim_{x \to a} \left\{ f(x) \pm g(x) \right\} = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) = \alpha \pm \beta $
  3. $ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = \alpha\beta $
  4. $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)} = \frac{\alpha}{\beta} $ (단, $ \beta \neq 0 $)
  • 함수의 극한에 대한 성질은 $ x \to a $를 $ x \to a+ $, $ x \to a- $, $ x \to \infty $, $ x \to -\infty $로 바꾸어도 성립한다.
  • 함수의 극한에 대한 성질은 수렴하는 함수에 대하여 성립한다는 것에 주의한다.

분수함수의 극한에 대한 성질

  1. $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha $이고 $ \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = 0 $이면
    \begin{gather*}
    \lim_{x \to a} f(x) = 0
    \end{gather*}
  2. $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha $이고 $ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 0 $이고 $ \alpha \neq 0 $이면
    \begin{gather*}
    \lim_{x \to a} g(x) = 0
    \end{gather*}

다음 등식이 성립하도록 상수 $ a $, $ b $의 값을 구하여라.

\begin{gather*}
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 4
\end{gather*}

$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 4 $이고 $ \displaystyle \lim_{x \to 1} (x-1) = 0 $이므로

\begin{gather*}
\lim_{x \to 1} (x^2 + ax + b) = 0 \ \ \ \therefore \ \ 1 + a + b = 0
\end{gather*}

$ a = – b – 1 $을 대입하면

\begin{align*}
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + (-b-1)x + b}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-b)}{x-1} \\
& = 1-b=4
\end{align*}

따라서 $ a = 2 $, $ b = -3 $이다.

함수의 극한값의 대소 관계

$ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \alpha $, $ \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \beta $ ($ \alpha $, $ \beta $는 실수)일 때, $ a $에 가까운 모든 실수 $ x $에 대하여

  1. $ f(x) \leq g(x) $이면 $ \alpha \leq \beta $이다.
  2. $ f(x) < g(x) $이면 $ \alpha \leq \beta $이다.
  3. $ f(x) \leq h(x) \leq g(x) $이고 $ \alpha = \beta $이면 $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} h(x) = \alpha $이다.
  4. $ f(x) < h(x) < g(x) $이고 $ \alpha = \beta $이면 $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} h(x) = \alpha $이다.
  • 함수의 극한값의 대소 관계는 $ x \to a $를 $ x \to a+ $, $ x \to a- $, $ x \to \infty $, $ x \to -\infty $로 바꾸어도 성립한다.
  • 함수의 극한값의 대소 관계는 두 함수가 수렴할 때 성립한다는 것에 주의한다.

함수 $ f(x) $가

\begin{gather*}
x^2 + 1 \leq f(x) \leq x^4 + 1
\end{gather*}

을 만족시킬 때, $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) $의 값을 구하여라.

$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} ( x^2 + 1 ) \leq \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow 0} ( x^4 + 1 ) $이고

\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow 0} ( x^2 + 1 ) = \lim_{x \rightarrow 0} ( x^4 + 1 ) = 1
\end{gather*}

이므로 $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1 $이다.