수학 공식 | 고등학교 > 급수와 급수의 성질

급수

수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 각 항을 기호 $ + $로 연결한 식

\begin{gather*}
a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots
\end{gather*}

을 급수라 하고, 기호로 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $과 같이 나타낸다.

급수의 부분합

급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $의 첫째항부터 $ n $항까지의 합

\begin{gather*}
S_n = a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
\end{gather*}

를 급수의 제$ n $항까지의 부분합이라 한다.

급수의 합

급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $의 제$ n $항까지의 부분합을 $ S_n $이라 할 때

  1. $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = S $이면 이 급수는 $ S $에 수렴한다고 하고, 이 때 $ S $를 급수의 합이라 한다.
  2. $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n $이 발산하면 이 급수는 발산한다고 한다.

급수와 일반항 사이의 관계

  1. 급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $이 수렴하면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 $이다.
  2. $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 $이면 급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $은 발산한다.
  • 급수와 일반항 사이의 관계의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어
    \begin{gather*}
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ , \ \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
    \end{gather*}에서 수열은 $ 0 $으로 수렴하지만 급수는 발산한다.
  • 등비수열 $ \{ a_n \} $이 $ a_n = ar^{n-1} $일 때, 수열 $ \{ a_n \} $이 $ 0 $으로 수렴할 조건과 등비급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $이 수렴할 조건은 $ -1 < r < 1 $로 같다.(단, $ a \neq 0 $) 따라서 등비급수라면
    \begin{gather*}
    \sum_{n=1}^{\infty} a_n \textrm{이 수렴} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0
    \end{gather*}

급수의 성질

두 급수 $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $, $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n $이 수렴할 때

  1. $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} k a_n = k \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ (단, $ k $는 상수)
  2. $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \pm b_n ) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \pm \sum_{n=1}^{\infty} b_n $
  • $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \neq \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sum_{n=1}^{\infty} b_n $
  • $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n} \neq \dfrac{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n}{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n} $

$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 3 $, $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = 2 $일 때, 다음 급수의 합을 구하여라.

\begin{gather*}
\sum_{n=1}^{\infty} ( 3 a_n – 2 b_n )
\end{gather*}

$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ( 3 a_n – 2 b_n ) = 3 \sum_{n=1}^{\infty} a_n – 2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = 3 \times 3 – 2 \times 2 = 5 $