수학 공식 | 고등학교 > 지수함수와 로그함수의 미분

로그함수의 도함수

  1. $ (\ln x)’ = \dfrac{1}{x} $
  2. $ (\log_a x)’ = \dfrac{1}{x \ln a} $

⑴의 증명

\begin{gather*}
( \ln x )’ = \lim_{h \to 0} \frac{\ln (x+h) – \ln x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln \left( 1 + \dfrac{h}{x} \right)}{h} = \frac{1}{x}
\end{gather*}

⑵의 증명

\begin{gather*}
( \log_a x )’ = \left( \frac{\ln x}{\ln a} \right)’ = \frac{1}{\ln a} ( \ln x )’ = \frac{1}{x \ln a}
\end{gather*}

지수함수의 도함수

  1. $ (e^x)’ = e^x $
  2. $ (a^x)’ = a^x \ln a $

⑴의 증명

\begin{gather*}
( e^x )’ = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} – e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x}(e^h – 1)}{h} = e^x
\end{gather*}

⑵의 증명

\begin{gather*}
( a^x )’ = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} – a^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x}(a^h – 1)}{h} = a^x \ln a
\end{gather*}