수학 공식 | 고등학교 > 집합 사이의 포함 관계

부분집합의 뜻

  1. 집합 $ {A} $의 모든 원소가 집합 $ {B} $에 속할 때, 집합 $ {A} $를 집합 $ {B} $의 부분집합이라고 한다. 이때 집합 $ {A} $는 집합 $ {B} $에 포함된다 또는 집합 $ {B} $는 집합 $ {A} $를 포함한다고 하고, 기호로
    \begin{gather*}
    {A \subset B}
    \end{gather*}와 같이 나타낸다.
  2. 집합 $ {A} $가 집합 $ {B} $의 부분집합이 아니면
    \begin{gather*}
    {A \not\subset B}
    \end{gather*}와 같이 나타낸다.

부분집합의 성질

  1. 집합 $ A $에 대하여
    \begin{gather*}
    \varnothing \subset {A}, \ \ {A} \subset {A}
    \end{gather*}
  2. 세 집합 $ A $, $ B $, $ C $에 대하여$ {{A} \subset {B}} $, $ {{B} \subset {C}} $이면 $ {{A} \subset {C}} $이다.

서로 같은 집합

  1. 두 집합 $ {A} $, $ {B} $에 대하여 $ {A \subset B} $이고 $ {B \subset A} $일 때, 즉 두 집합의 원소가 모두 같을 때 두 집합 $ {A} $, $ {B} $는 서로 같다고 하고
    \begin{gather*}
    {A = B}
    \end{gather*}와 같이 나타낸다.
  2. 두 집합 $ {A} $, $ {B} $가 서로 같지 않을 때
    \begin{gather*}
    {A \neq B}
    \end{gather*}와 같이 나타낸다.

진부분집합

두 집합 $ {A} $, $ {B} $에 대하여

\begin{gather*}
{A} \subset {B} \ \ \textrm{그리고} \ \ {A} \neq {B}
\end{gather*}

일 때, 집합 $ {A} $를 집합 $ {B} $의 진부분집합이라고 한다.

부분집합의 개수

집합 $ {A}=\{ a_1 , \ a_2 , \ a_3, \ \cdots, \ a_n \} $에 대하여

  1. 집합 $ A $의 부분집합의 개수는 $ 2^n $
  2. 집합 $ A $의 진부분집합의 개수는 $ 2^n – 1 $
  3. 집합 $ A $의 부분집합 중 $ k $개의 특정한 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합의 개수는 $ 2^{n-k} $

집합 $ {A}=\{ a, \ b, \ c, \ d, \ e \} $에 대하여 다음을 구하여라.

  1. 집합 $ A $의 부분집합의 개수
  2. 집합 $ A $의 진부분집합의 개수
  3. 집합 $ A $의 부분집합 중 원소 $ a $는 포함하고 원소 $ b $는 포함하지 않는 부분집합의 개수
  1. $ 2^5 = 32 $
  2. $ 2^5 – 1 = 31 $
  3. $ 2^{5-2} = 8 $