수학 공식 | 고등학교 > 여러 가지 함수의 정적분
정적분의 계산
함수 $ f(x) $의 한 부정적분을 $ F(x) $라 할 때
\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x) dx = \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)
\end{gather*}
다음 정적분을 구하여라.
- $ \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx $
- $ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx $
- $ \displaystyle \int_{0}^{2} e^x dx $
- $ \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $
- $ \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} $
- $ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = \Bigl[ \ln |x| \Bigr]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 $
- $ \displaystyle \int_{0}^{2} e^x dx = \Bigl[ e^x \Bigr]_{0}^{2} = e^2 - e^0 = e^2 - 1 $
- $ \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \Bigl[ \sin x \Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 $
정적분의 치환적분법
구간 $ [a, \ b] $에서 연속인 함수 $ f(x) $에 대하여 미분가능한 함수 $ x = g(t) $의 도함수 $ g'(t) $가 구간 $ [\alpha, \ \beta] $에서 연속이고 $ a = g(\alpha) $, $ b = g(\beta) $이면
\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt
\end{gather*}
다음 정적분을 구하여라.
\begin{gather*}
\int_{0}^{1} 4e^{4x-1} dx
\end{gather*}
$ 4x-1 = t $로 놓으면 $ 4 = \dfrac{dt}{dx} $이고, $ x=1 $일 때 $ t=3 $, $ x=0 $일 때 $ t=-1 $이므로
\begin{gather*}
\int_{0}^{1} 4e^{4x-1} dx = \int_{-1}^{3} e^t dt = \Bigl[ e^t \Bigr]_{-1}^{3} = e^3 - \frac{1}{e}
\end{gather*}
정적분의 부분적분법
두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 미분가능하고 $ f'(x) $, $ g'(x) $가 연속일 때
\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx = \Bigl[ f(x)g(x) \Bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx
\end{gather*}
다음 정적분을 구하여라.
\begin{gather*}
\int_{0}^{1} x e^x dx
\end{gather*}
$ f(x) = x $, $ g'(x) = e^x $으로 놓으면 $ f'(x) = 1 $, $ g(x) = e^x $이므로
\begin{gather*}
\int_{0}^{1} x e^x dx = \Bigl[ xe^x \Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x dx = e - \Bigl[ e^x \Bigr]_{0}^{1} = 1
\end{gather*}
