수학 공식 | 고등학교 > 항등식과 미정계수법

항등식의 뜻

미지수에 어떤 값을 대입해도 성립하는 등식을 항등식이라고 한다.

다음은 모두 $ x $에 대한 항등식을 뜻한다.

  • 모든 $ x $에 대하여 성립하는 등식
  • 임의의 $ x $에 대하여 성립하는 등식
  • $ x $의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식

항등식의 성질

  1. $ ax^2 + bx + c = 0 $이 $ x $에 대한 항등식이면
    \begin{gather*}
    a=0, \ \ b=0, \ \ c=0
    \end{gather*}
  2. $ ax^2 + bx + c = a’x^2 + b’x + c’ $이 $ x $에 대한 항등식이면
    \begin{gather*}
    a=a’, \ \ b=b’, \ \ c=c’
    \end{gather*}

미정계수법

항등식의 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수를 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다.

  1. 계수비교법 : 양변의 계수를 비교하여 미정계수를 정하는 방법
  2. 수치대입법 : 문자에 적당한 숫자를 대입하여 미정계수를 구하는 방법

$ x $에 대한 항등식의 미정계수를 수치대입법으로 구할 때 $ x^2 = -1 $, $ x^3 = 2 $ 등을 대입해도 된다. 예를 들어 $ x $에 대한 항등식

\begin{gather*}
x^4 + 2x^2 + 3 = (x^2 + 1) Q(x) + R \ \ \textrm{(단, } R \textrm{은 상수)}
\end{gather*}

에서 $ x^2 = -1 $을 대입하면 $ R $을 구할 수 있다.

\begin{gather*}
(-1)^2 + 2 \times (-1) + 3 = R \ \ \therefore \ \ R = 2
\end{gather*}

모든 실수 $ x $에 대하여

\begin{gather*}
(x-1)(x^2 + ax + b) = x^3 + x^2 + c
\end{gather*}

가 성립할 때, 상수 $ a $, $ b $, $ c $의 값을 구하여라.

좌변을 전개하고 정리하면

\begin{gather*}
x^3 + (a-1)x^2 + (b-a)x – b = x^3 + x^2 + c
\end{gather*}

계수를 비교하면

\begin{gather*}
a-1 = 1, \ \ b-a=0, \ \ -b = c
\end{gather*}

따라서 $ a=2 $, $ b=2 $, $ c=-2 $

다음 등식이 항등식이 되도록 상수 $ a $, $ b $, $ c $의 값을 정하여라.

\begin{gather*}
ax(x+1) + bx(x-1) + c(x+1)(x-1) + 4 = 4x^2 – x + 5
\end{gather*}

$ x=1 $을 대입하면 $ a=2 $

$ x=-1 $을 대입하면 $ b=3 $

$ x=0 $을 대입하면 $ c=-1 $