수학 공식 | 고등학교 > 지수함수와 로그함수의 활용
지수를 포함한 방정식의 해법
$ a>0 $, $ b>0 $일 때
- $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) = g(x) \ \textrm{또는} \ a=1 $
- $ a^{f(x)} = b^{f(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ a=b \ \textrm{또는} \ f(x) = 0 $
- $ a^{f(x)} = b^{g(x)} $이면 양변에 로그를 취하여 푼다.
- $ a^x $ 꼴이 반복되는 경우 $ a^x = t \ ( t>0 ) $로 치환하여 푼다.
방정식 $ ( \sqrt{2} )^{2x^2 - 4x} = 4^{2x-4} $의 해를 구하여라.
$ 2^{x^2 - 2x} = 2^{4x - 8} , \ \ x^2 - 2x = 4x - 8 $
$ \therefore \ \ x=2 $ 또는 $ x=4 $
방정식 $ 4^x - 2^x - 2 = 0 $의 해를 구하여라.
$ 2^x = t $로 치환하면 $ t > 0 $
$ t^2 - t - 2 = 0, \ \ (t+1)(t-2)=0 $
$ \therefore \ \ t=2 \ ( \because \ t > 0 ) $
$ \therefore \ \ x=1 $
지수를 포함한 부등식의 해법
- $ a > 1 $일 때 $ a^{f(x)} > a^{g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) > g(x) $
- $ 0 < a < 1 $일 때 $ a^{f(x)} > a^{g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) < g(x) $
로그를 포함한 방정식의 해법
- $ \log_a f(x) = \log_a g(x) \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) = g(x) $
- $ \log_a x $ 꼴이 반복되는 경우 $ \log_a x = t $로 치환하여 푼다.
- 진수는 양수이어야 한다는 것에 주의한다.
방정식 $ \log_2 (x^2-3) = \log_2 (x-1) $의 해를 구하여라.
$ x^2 - 3 = x - 1 \ \ \ \therefore \ \ x=-1 \ 또는 \ x=2 $
$ x^2 - 3 >0 $, $ x-1>0 $이어야 하므로 $ x=2 $
방정식 $ (\log x)^2 - 3 \log x + 2 = 0 $의 해를 구하여라.
$ t = \log x $로 놓으면 $ t^2 - 3t + 2 = 0 \ \ \ \therefore \ \ t = 1 \ 또는 \ t=2 $
따라서 $ x = 10 $ 또는 $ x=100 $
로그를 포함한 부등식의 해법
- $ a > 1 $일 때 $ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) > g(x) $
- $ 0 < a < 1 $일 때 $ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ g(x) > f(x) $
- 진수는 양수이어야 한다는 것에 주의한다.
부등식 $ \log x + \log (x-3) \leq 1 $을 풀어라.
$ \log x(x-3) \leq \log 10, \ x(x-3) \leq 10 \ \ \ \therefore \ \ -3 \leq x \leq 5 $
$ x>0 $, $ x-3>0 $이어야 하므로 $ 3 < x \leq 5 $
