수학 공식 | 고등학교 > 지수함수와 로그함수의 활용

지수를 포함한 방정식의 해법

$ a>0 $, $ b>0 $일 때

  1. $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) = g(x) \ \textrm{또는} \ a=1 $
  2. $ a^{f(x)} = b^{f(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ a=b \ \textrm{또는} \ f(x) = 0 $
  3. $ a^{f(x)} = b^{g(x)} $이면 양변에 로그를 취하여 푼다.
  4. $ a^x $ 꼴이 반복되는 경우 $ a^x = t \ ( t>0 ) $로 치환하여 푼다.

방정식 $ ( \sqrt{2} )^{2x^2 – 4x} = 4^{2x-4} $의 해를 구하여라.

$ 2^{x^2 – 2x} = 2^{4x – 8} , \ \ x^2 – 2x = 4x – 8 $

$ \therefore \ \ x=2 $ 또는 $ x=4 $

방정식 $ 4^x – 2^x – 2 = 0 $의 해를 구하여라.

$ 2^x = t $로 치환하면 $ t > 0 $

$ t^2 – t – 2 = 0, \ \ (t+1)(t-2)=0 $

$ \therefore \ \ t=2 \ ( \because \ t > 0 ) $

$ \therefore \ \ x=1 $

지수를 포함한 부등식의 해법

  1. $ a > 1 $일 때 $ a^{f(x)} > a^{g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) > g(x) $
  2. $ 0 < a < 1 $일 때 $ a^{f(x)} > a^{g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) < g(x) $

로그를 포함한 방정식의 해법

  1. $ \log_a f(x) = \log_a g(x) \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) = g(x) $
  2. $ \log_a x $ 꼴이 반복되는 경우 $ \log_a x = t $로 치환하여 푼다.
  • 진수는 양수이어야 한다는 것에 주의한다.

방정식 $ \log_2 (x^2-3) = \log_2 (x-1) $의 해를 구하여라.

$ x^2 – 3 = x – 1 \ \ \ \therefore \ \ x=-1 \ 또는 \ x=2 $

$ x^2 – 3 >0 $, $ x-1>0 $이어야 하므로 $ x=2 $

방정식 $ (\log x)^2 – 3 \log x + 2 = 0 $의 해를 구하여라.

$ t = \log x $로 놓으면 $ t^2 – 3t + 2 = 0 \ \ \ \therefore \ \ t = 1 \ 또는 \ t=2 $

따라서 $ x = 10 $ 또는 $ x=100 $

로그를 포함한 부등식의 해법

  1. $ a > 1 $일 때 $ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ f(x) > g(x) $
  2. $ 0 < a < 1 $일 때 $ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \ \ \Longleftrightarrow \ \ g(x) > f(x) $
  • 진수는 양수이어야 한다는 것에 주의한다.

부등식 $ \log x + \log (x-3) \leq 1 $을 풀어라.

$ \log x(x-3) \leq \log 10, \ x(x-3) \leq 10 \ \ \ \therefore \ \ -3 \leq x \leq 5 $

$ x>0 $, $ x-3>0 $이어야 하므로 $ 3 < x \leq 5 $