수학 공식 | 고등학교 > 유리함수의 뜻과 그래프

유리함수

  1. 함수 $ y=f(x) $에서 $ f(x) $가 $ x $에 대한 유리식일 때, 이 함수를 유리함수라 한다. 특히 $ f(x) $가 $ x $에 대한 다항식일 때, 이 함수를 다항함수라 한다.
  2. 유리함수의 정의역이 주어져 있지 않은 경우 분모를 $ 0 $으로 하는 원소를 제외한 실수 전체의 집합을 정의역으로 한다.

유리함수 $ \boldsymbol{ y = \dfrac{k}{x} \ (k \neq 0)} $의 그래프

  1. 정의역, 치역은 모두 $ 0 $을 제외한 실수 전체의 집합이다.
  2. $ k>0 $이면 그래프는 제$ 1 $사분면, 제$ 3 $사분면에 있고, $ k<0 $이면 그래프는 제$ 2 $사분면, 제$ 4 $사분면에 있다.
  3. $ |k| $의 값이 커질수록 그래프는 원점에서 멀어진다.
  4. 점근선은 $ x $축($ y=0 $)과 $ y $축($ x=0 $)이다.
  5. 원점, $ y=x $, $ y=-x $에 대하여 대칭이다.

유리함수 $ \boldsymbol{ y=\dfrac{k}{x-p}+q \ (k \neq 0)} $의 그래프

  1. 유리함수 $ y=\dfrac{k}{x} $를 $ x $축의 방향으로 $ p $만큼, $ y $축의 방향으로 $ p $만큼 평행이동한 것이다.
  2. 정의역은 $ p $을 제외한 실수 전체의 집합, 치역은 $ q $을 제외한 실수 전체의 집합이다.
  3. 점근선은 $ x=p $와 $ y=q $이다.
  4. $ (p, \ q) $, $ y=(x-p)+q $, $ y=-(x-p)+q $에 대하여 대칭이다.

$ k > 0 $일 때 $ y=\dfrac{k}{x-p}+q $의 그래프

유리함수 $ \boldsymbol{ y = \dfrac{ax+b}{cx+d} \ (c \neq 0, \ ad-bc \neq 0)} $의 그래프

  1. 그래프는 $ y=\dfrac{k}{x-p}+q $의 꼴로 변형하여 그린다.
  2. 정의역은 $ – \dfrac{d}{c} $을 제외한 실수 전체의 집합, 치역은 $ \dfrac{a}{c} $을 제외한 실수 전체의 집합이다.
  3. 점근선은 $ x= – \dfrac{d}{c} $와 $ y=\dfrac{a}{c} $이다.
  4. $ \left(- \dfrac{d}{c}, \ \dfrac{a}{c} \right) $, $ y=\left(x+\dfrac{d}{c} \right)+\dfrac{a}{c} $, $ y=-\left(x+\dfrac{d}{c} \right)+\dfrac{a}{c} $에 대하여 대칭이다.

$ y = \dfrac{ax+b}{cx+d} $를 변형하면

\begin{align*}
y = \frac{\dfrac{a}{c}x + \dfrac{b}{c}}{x+\dfrac{d}{c}} = \frac{\dfrac{a}{c} \left( x+\dfrac{d}{c} \right) – \dfrac{ad-bc}{c^2}}{x+\dfrac{d}{c}} = \frac{ – \dfrac{ad-bc}{c^2}}{x+\dfrac{d}{c}} + \frac{a}{c}
\end{align*}

즉, $ x=-\dfrac{d}{c} $, $ y=\dfrac{a}{c} $를 점근선으로 하는 유리함수이다. 단, $ ad-bc=0 $일 때는

\begin{align*}
y=\frac{a}{c}
\end{align*}

이므로, 분수함수가 아니라 상수함수가 된다.

다음 함수의 정의역, 치역, 점근선을 구하여라.

\begin{gather*}
y=\frac{3x+5}{x-2}
\end{gather*}

주어진 함수를 변형하면

\begin{gather*}
y = \frac{3(x-2)+11}{x-2} = \frac{11}{x-2} + 3
\end{gather*}

이므로, 정의역은 $ 2 $가 아닌 실수 전체의 집합, 치역은 $ 3 $이 아닌 실수 전체의 집합, 점근선은 $ x=2 $와 $ y=3 $이다.

잡동사니

  • $ y = \dfrac{k}{x-m} + n $의 역함수는 $ y =\dfrac{k}{x-n} + m $
  • $ y = \dfrac{ax+b}{cx+d} $의 역함수는 $ y=\dfrac{-dx+b}{cx-a} $