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합성함수
- 두 함수 $ f : {X} \rightarrow {Y} $, $ g : {Y} \rightarrow {Z} $가 주어졌을 때, 집합 $ {X} $의 임의의 원소 $ x $에 대하여 $ f(x) $를 대응시키고, $ f(x) $를 $ g(f(x)) $에 대응시켜서 $ {X} $에서 $ {Z} $로의 함수를 만들 수 있다. 이 함수를 $ f $와 $ g $의 합성함수라고 하며, 기호로
\begin{gather*}
g \circ f
\end{gather*}와 같이 나타낸다. - 합성함수 $ g \circ f $에서 $ x $의 함숫값을
\begin{gather*}
( g \circ f )(x)
\end{gather*}로 나타내며, 이는 $ g(f(x)) $와 같다.
함수 $ f $의 치역이 함수 $ g $의 정의역의 부분집합, 즉
\begin{gather*}
\{ f(x) \ | \ x \in {X} \} \subset {Y}
\end{gather*}
이면 합성함수 $ g \circ f $ 를 정의할 수 있다.
두 함수 $ f(x) = x^2 $, $ g(x) = 2x $에 대하여 다음을 구하여라.
- $ (f \circ g)( 2 ) $
- $ (g \circ f)( 2 ) $
- $ (f \circ g)( x ) $
- $ (g \circ f)( x ) $
- $ (f \circ g)( 2 ) = f(g(2)) = f(4) = 16 $
- $ (g \circ f)( 2 ) = g(f(2)) = g(4) = 8 $
- $ (f \circ g)( x ) = f(2x) = 4x^2 $
- $ (g \circ f)( x ) = g(x^2) = 2x^2 $
합성함수의 성질
세 함수 $ f $, $ g $, $ h $에 대하여
- $ g \circ f \neq f \circ g $
- $ h \circ ( g \circ f ) = ( h \circ g ) \circ f $
- $ f \circ I = I \circ f = f $ (단, $ I $는 항등함수)
2017/08/18 10:56수학 공식
