수학 공식 | 고등학교 > 지수함수의 뜻과 그래프

지수함수의 뜻

$ a $가 1이 아닌 양수일 때 실수 $ x $를 $ a^x $에 대응시키는 함수

\begin{gather*}
y=a^x
\end{gather*}

를 $ a $를 밑으로 하는 지수함수라고 한다.

지수함수 $ \boldsymbol{y=a^x \ ( a>0, \ a \neq 1)} $의 성질

  1. 정의역은 실수 전체의 집합이다.
  2. 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.
  3. 항상 $ (0, \ 1) $을 지난다.
  4. $ a > 1 $이면 $ x $의 값이 커질 때 $ y $의 값이 커지고, $ 0 < a < 1 $이면 $ x $의 값이 증가할 때 $ y $의 값이 감소한다.
  5. 점근선은 $ x $축($ y=0 $)이다.
  6. $ a > 1 $이면 $ a $의 값이 커질수록, $ 0 < a < 1 $이면 $ a $의 값이 작아질수록 그래프는 $ y $축에 가까워진다.

지수함수의 평행이동과 대칭이동

지수함수 $ y=a^x $의 그래프를

  1. $ x $축의 방향으로 $ m $만큼, $ y $축의 방향으로 $ n $만큼 평행이동 ⇨ $ y=a^{x-m}+n $
  2. $ x $축에 대하여 대칭이동 ⇨ $ y=-a^x $
  3. $ y $축에 대하여 대칭이동 ⇨ $ y=a^{-x} $
  4. 원점에 대하여 대칭이동 ⇨ $ y=-a^{-x} $

지수함수의 최대와 최소

  1. $ y = a^x $의 꼴인 경우 정의역의 양 끝에서 최대 또는 최소가 된다.
  2. $ y = a^{f(x)} $의 꼴인 경우 $ f(x) = t $로 치환하여 푼다.
  3. $ y = f(a^x) $의 꼴인 경우 $ a^x = t $로 치환하여 푼다.
  4. $ y = f(a^x+a^{-x}) $의 꼴인 경우 $ a^x+a^{-x} = t $로 치환하여 푼다.

$ 1 \leq x \leq 4 $일 때, 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

\begin{gather*}
y = 2^{x}
\end{gather*}

$ 2 \leq 2^x \leq 2^4 $이므로 최댓값은 $ 16 $, 최솟값은 $ 2 $이다.

$ 0 \leq x \leq 3 $일 때, 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

\begin{gather*}
y = 2^{x^2-2x+2}
\end{gather*}

$ t=x^2-2x+2 = (t-1)^2+1 $

$ 0 \leq x \leq 3 $이면 $ 1 \leq t \leq 5 $이고 $ 2 \leq 2^t \leq 2^5 $

따라서 최댓값은 $ 32 $, 최솟값은 $ 2 $이다.

$ 0 \leq x \leq 2 $일 때, 함수 $ y = 4^x – 4 \cdot 2^x + 5 $의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

$ t = 2^x $로 놓으면 $ 1 \leq t \leq 4 $

$ y = t^2 – 4t + 5 = (t-2)^2 + 1 $이므로 최댓값은 $ 5 $, 최솟값은 $ 1 $이다.

함수 $ y = 4^x + 4^{-x} – 2 (2^x + 2^{-x}) + 5 $의 최솟값을 구하여라.

$ t = 2^x + 2^{-x} $로 놓으면 $ t \geq 2 $

$ y = t^2 – 2 – 2t + 5 = (t-2)^2 + 2 $이므로 최솟값은 $ 3 $이다.