수학 공식 | 고등학교 > 적분과 넓이

좌표축과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이

구간 $ [a, \ b] $에서 곡선 $ y=f(x) $와 $ x $축 사이의 넓이는

\begin{gather*}
\int_{a}^{b} |f(x)| dx
\end{gather*}

곡선 $ y = x^3 – 3x^2 + 2x $와 $ x $축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

곡선과 $ x $축의 교점의 $ x $좌표를 구하면

\begin{gather*}
x^3 – 3x^2 + 2x = 0 \ \ \ \therefore \ \ x = 0 \ 또는 \ 1 \ 또는 \ 2
\end{gather*}

넓이는

\begin{gather*}
\int_{0}^{1} (x^3 – 3x^2 + 2x) dx + \int_{1}^{2} ( – x^3 + 3x^2 – 2x) dx = \frac{1}{2}
\end{gather*}

곡선과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이

구간 $ [a, \ b] $에서 곡선 $ y=f(x) $와 $ y=g(x) $로 둘러싸인 도형의 넓이는

\begin{align*}
\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)| dx
\end{align*}

두 곡선 $ y = – x^2 + 4x – 3 $, $ y = x^2 – 2x + 1 $로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

두 곡선의 교점의 $ x $좌표는

\begin{gather*}
y = – x^2 + 4x – 3, \ y = x^2 – 2x + 1 \ \ \ \therefore \ \ x=1 \ 또는 \ 2
\end{gather*}

넓이는

\begin{gather*}
\int_{1}^{2} \{ ( – x^2 + 4x – 3 ) – (x^2 – 2x + 1) \} dx = \frac{1}{3}
\end{gather*}

잡동사니

  1. 구간 $ [a, \ b] $에서 곡선 $ x=f(y) $와 $ y $축 사이의 넓이는
    \begin{gather*}
    \int_{a}^{b} |f(y)| dy
    \end{gather*}
  2. 구간 $ [a, \ b] $에서 곡선 $ x=f(y) $와 $ x=g(y) $로 둘러싸인 도형의 넓이는
    \begin{align*}
    \int_{a}^{b} |f(y)-g(y)| dy
    \end{align*}
  3. $ \alpha < \beta $일 때
    \begin{gather*}
    \int_{\alpha}^{\beta} |a(x-\alpha)(x-\beta)| dx = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3
    \end{gather*}
  4. $ \alpha < \beta $일 때
    \begin{gather*}
    \int_{\alpha}^{\beta} |a(x-\alpha)^2 (x-\beta)| dx = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 \\
    \int_{\alpha}^{\beta} |a(x-\alpha) (x-\beta)^2| dx = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4
    \end{gather*}