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이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 \ (a>0) $의 판별식 $ D $의 부호에 따른 이차함수 $ y=ax^2+bx+c $의 그래프와 이차부등식의 해는 다음과 같다.

$ D > 0 $일 때

$ y = ax^2 + bx + c $의 그래프

 

• $ ax^2 + bx + c > 0 $의 해 : $ x < \alpha $ 또는 $ x > \beta $
• $ ax^2 + bx + c \geq 0 $의 해 : $ x \leq \alpha $ 또는 $ x \geq \beta $
• $ ax^2 + bx + c < 0 $의 해 : $ \alpha < x < \beta $
• $ ax^2 + bx + c \leq 0 $의 해 : $ \alpha \leq x \leq \beta $

$ D = 0 $일 때

$ y = ax^2 + bx + c $의 그래프

• $ ax^2 + bx + c > 0 $의 해 : $ x \neq \alpha $인 모든 실수
• $ ax^2 + bx + c \geq 0 $의 해 : 모든 실수
• $ ax^2 + bx + c < 0 $의 해 : 없다
• $ ax^2 + bx + c \leq 0 $의 해 : $ x = \alpha $

$ D < 0 $일 때

$ y = ax^2 + bx + c $의 그래프

• $ ax^2 + bx + c > 0 $의 해 : 모든 실수
• $ ax^2 + bx + c \geq 0 $의 해 : 모든 실수
• $ ax^2 + bx + c < 0 $의 해 : 없다
• $ ax^2 + bx + c \leq 0 $의 해 : 없다

이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 판별식을 $ D $라 할 때

1. 모든 실수 $ x $에 대하여 $ ax^2 + bx + c > 0 $이 성립할 조건
   \begin{gather*}
   a > 0, \ \ D < 0
   \end{gather*}
2. 모든 실수 $ x $에 대하여 $ ax^2 + bx + c \geq 0 $이 성립할 조건
   \begin{gather*}
   a > 0, \ \ D \leq 0
   \end{gather*}
3. 모든 실수 $ x $에 대하여 $ ax^2 + bx + c < 0 $이 성립할 조건
   \begin{gather*}
   a < 0, \ \ D < 0
   \end{gather*}
4. 모든 실수 $ x $에 대하여 $ ax^2 + bx + c \leq 0 $이 성립할 조건
   \begin{gather*}
   a < 0, \ \ D \leq 0
   \end{gather*}

연립부등식을 이루는 각각의 부등식의 해를 구한 후 이들의 공통부분을 구한다.