수학 공식 | 고등학교 > 모평균의 추정

모평균의 추정, 신뢰도, 신뢰구간

  1. 모집단에서 추출한 표본을 이용하여 모평균을 추측하는 것을 모평균의 추정이라 한다.
  2. 표본평균의 분포로부터 모평균이 포함될 구간을 얻을 때, 그 구간에 모평균이 포함될 확률을 신뢰도라 한다.
  3. 모평균이 존재할 것으로 추정되는 구간을 신뢰구간이라 한다.

모평균의 신뢰구간

정규분포 $ N(m, \ \sigma^2) $을 모집단에서 크기가 $ n $인 표본을 임의추출할 때의 표본평균을 $ \overline{X} $라 할 때

  1. 신뢰도 $ 95 $%의 신뢰구간
    \begin{gather*}
    \overline{{X}} – 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{{X}} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
    \end{gather*}
  2. 신뢰도 $ 99 $%의 신뢰구간
    \begin{gather*}
    \overline{{X}} – 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{{X}} + 2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
    \end{gather*}

※ 표본의 크기가 충분히 크면 모표준편차 $ \sigma $ 대신 표본표준편차 $ S $를 사용해도 된다.

  1. 신뢰도 $ 95 $%일 때 신뢰구간의 길이 :
    $ 2 \times 1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $
  2. 신뢰도 $ 99 $%일 때 신뢰구간의 길이 :
    $ 2 \times 2.58 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $
  3. 신뢰도 $ 95 $%일 때 모평균과 표본평균의 차의 최댓값 :
    $ 1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $
  4. 신뢰도 $ 99 $%일 때 모평균과 표본평균의 차의 최댓값 :
    $ 2.58 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $

어느 공장에서 생산하는 A부품의 한 개의 무게는 표준편차가 $ 10g $인 정규분포를 따른다고 한다. 이 부품 중 $ 25 $개를 임의추출하여 무게를 측정한 결과 평균이 $ 195g $이었다고 할 때, A부품 한 개의 평균 무게에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하여라.

$ n=25 $, $ \overline{{X}}=195 $, $ \sigma=10 $이므로

\begin{gather*}
195 – 1.96 \frac{10}{\sqrt{25}} \leq m \leq 195 + 1.96 \frac{10}{\sqrt{25}}
\end{gather*}

따라서 $ 191.08 \leq m \leq 198.92 $이다.