수학 공식 | 고등학교 > 이차방정식의 판별식

이차방정식의 판별식

계수가 실수인 $ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 $에서 $ b^2-4ac $를 판별식이라 하고, 보통 기호 $ D $로 나타낸다.

\begin{gather*}
D = b^2 – 4ac
\end{gather*}

$ ax^2+2b’x+c=0 $이라면

\begin{gather*}
D = (2b’)^2 – 4ac \ \ \ \therefore \ \ \frac{D}{4} = b’^2 – ac
\end{gather*}

이차방정식의 근의 판별

계수가 실수인 이차방정식은 판별식의 부호에 따라 다음과 같이 근을 갖는다.

  1. $ {D} > 0 \ \Longleftrightarrow $ 서로 다른 두 실근
  2. $ {D} = 0 \ \Longleftrightarrow $ 서로 같은 두 실근 (중근)}
  3. $ {D} < 0 \ \Longleftrightarrow $ 서로 다른 두 허근
  • 중근을 두 개로 세고, 수의 범위를 복소수까지 확장하면 이차방정식의 근의 개수는 항상 두 개이다.
  • 판별식으로 이차방정식의 근이 실근인지 허근인지 판별하기 위해서는 계수가 실수어야 한다. 예를 들어
    \begin{gather*}
    x^2 + ix -1 = 0
    \end{gather*}의 판별식은 $ 0 $보다 크지만 허근을 갖는다.
  • 계수에 허수가 있는 이차방정식에서 실근을 가질 조건을 구할 때는 복소수가 같을 조건을 이용한다.

$ x $에 관한 이차방정식 $ x^2 + 2x – a = 0 $이 실근을 갖도록 하는 실수 $ a $의 값의 범위를 구하여라.

$ D = 2^2 – 4 \times 1 \times (-a) \geq 0 \ \ \ \therefore \ \ a \geq -1 $