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절대부등식

부등식의 문자에 어떤 실수를 대입하여도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 한다.

절대부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질

$ a $, $ b $가 실수일 때

  1. $ a > b \ \ \Longleftrightarrow \ \ a – b > 0 $
  2. $ a^2 \geq 0 $
  3. $ a^2 + b^2 \geq 0 $
  4. $ a^2 + b^2 = 0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ a = b = 0 $
  5. $ |a|^2 = a^2, \ \ |a||b| = |ab|, \ \ |a| \geq a $
  6. $ a > 0, \ \ b > 0 $일 때, $ a > b \ \ \Longleftrightarrow \ \ a^2 > b^2 $

여러 가지 절대부등식

$ a $, $ b $, $ c $가 실수일 때

  1. $ a^2 + ab + b^2 \geq 0 $ (단, 등호는 $ a = b = 0 $일 때 성립)
  2. $ a^2 – ab + b^2 \geq 0 $ (단, 등호는 $ a = b = 0 $일 때 성립)
  3. $ a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca \geq 0 $ (단, 등호는 $ a=b=c $일 때 성립)
  4. $ |a| + |b| \geq |a+b| $ (단, 등호는 $ ab \geq 0 $일 때 성립)
  5. $ |a-b| \geq |a|-|b| $ (단, 등호는 $ ab \geq 0 $일 때 성립)

산술평균과 기하평균의 관계

양수 $ a $, $ b $에 대하여

\begin{gather*}
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
\end{gather*}

단, 등호는 $ a=b $일 때 성립한다.

  • 양수 $ a $, $ b $에 대하여 $ \dfrac{a+b}{2} $를 산술평균, $ \sqrt{ab} $를 기하평균이라고 한다.
  • $ \dfrac{a+b}{2} – \sqrt{ab} = \dfrac{a+b- 2\sqrt{ab}}{2} = \dfrac{(\sqrt{a} – \sqrt{b})^2}{2} \geq 0 $

양수 $ a $, $ b $에 대하여 $ a+b=4 $이다. $ ab $의 최댓값을 구하여라.

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

\begin{gather*}
\frac{4}{2} \geq \sqrt{ab} \ \ \therefore \ \ ab \leq 4
\end{gather*}

이다. 따라서 $ ab $의 최댓값은 $ 4 $이다.

양수 $ a $, $ b $에 대하여 $ ab=16 $이다. $ a+b $의 최솟값을 구하여라.

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

\begin{gather*}
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{16} \ \ \therefore \ \ a+b \geq 8
\end{gather*}

이다. 따라서 $ a+b $의 최솟값은 $ 8 $이다.

코시-슈바르츠 부등식

실수 $ a $, $ b $, $ x $, $ y $에 대하여

\begin{gather*}
( a^2 + b^2 )( x^2 + y^2 ) \geq ( ax + by )^2
\end{gather*}

단, 등호는 $ ay=bx $일 때 성립한다.

$
( a^2 + b^2 )( x^2 + y^2 ) – ( ax + by )^2\\
= a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2 – ( a^2 x^2 + 2abxy + b^2 y^2 )\\
= a^2 y^2 – 2abxy + b^2 x^2 = ( ay – bx )^2 \geq 0
$

$ x^2 + y^2 = 9 $일 때, $ 3x+4y $의 최솟값과 최댓값을 구하여라. (단, $ x $, $ y $는 실수)

코시-슈바르츠 부등식에 의하여

\begin{gather*}
( 3^2 + 4^2 )( x^2 + y^2 ) \geq ( 3x + 4y )^2, \ \ ( 3x + 4y )^2 \leq 225\\
\therefore \ \ -15 \leq 3x + 4y \leq 15
\end{gather*}

이다. 따라서 최솟값은 $ -15 $, 최댓값은 $ 15 $이다.