수학 공식 | 고등학교 > 정적분의 뜻과 성질

정적분

  1. 함수 $ f(x) $의 어떤 부정적분 $ F(x) $에서도 $ F(b)-F(a) $의 값은 하나로 결정된다. 이 값을 함수 $ f(x) $의 $ a $에서 $ b $까지의 정적분이라 하고, 기호로
    \begin{gather*}
    \int_{a}^{b} f(x) dx
    \end{gather*}와 같이 나타낸다. 이때, $ a $를 아래끝, $ b $를 위끝, 구간 $ [a, \ b] $를 적분구간이라 하고, 정적분의 값을 구하는 것을 함수 $ f(x) $를 $ a $에서 $ b $까지 적분한다고 한다.
  2. 이때 정적분의 값 $ F(b)-F(a) $를 기호로
    \begin{gather*}
    \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b}
    \end{gather*}와 같이 나타낸다. 즉
    \begin{gather*}
    \int_{a}^{b} f(x) dx = \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b} = F(b) – F(a)
    \end{gather*}
  • $ a=b $일 때
    \begin{gather*}
    \int_{a}^{b} f(x) dx = 0
    \end{gather*}$ a>b $일 때
    \begin{gather*}
    \int_{a}^{b} f(x) dx = – \int_{b}^{a} f(x) dx
    \end{gather*}로 정의한다.

정적분의 성질

  1. $ \displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \ \ (\textrm{단, } k \textrm{는 상수}) $
  2. $ \displaystyle \int_{a}^{b} \left\{ f(x) + g(x) \right\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx $
  3. $ \displaystyle \int_{a}^{b} \left\{ f(x) – g(x) \right\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx – \int_{a}^{b} g(x) dx $
  4. $ \displaystyle \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx $
  5. $ f(-x) = f(x) $일 때, $ \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx $
  6. $ f(-x) = – f(x) $일 때, $ \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 $

$ \displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)^3 dx – \int_{0}^{1} (x-1)^3 dx $의 값을 구하여라.

$ \displaystyle \int_{0}^{1} \left\{ (x+1)^3 – (x-1)^3 \right\} dx = \int_{0}^{1} (6x^2 +2) dx = 4 $

$ \displaystyle \int_{0}^{2} (3x^2 – 2x) dx + \int_{2}^{4} (3x^2 – 2x) dx $의 값을 구하여라.

$ \displaystyle \int_{0}^{4} (3x^2 – 2x) dx = \Big[ x^3 – x^2 \Big]_{0}^{4} = 48 $

$ \displaystyle \int_{-1}^{1} (2x^7+5x^5-x^3+3x^2+x+2) $의 값을 구하여라.

$ \displaystyle 2 \int_{0}^{1} (3x^2 + 2) dx = 2 \Big[ x^3 + 2x \Big]_{0}^{1} = 6 $

적분과 미분의 관계

함수 $ f(t) $가 구간 $ [a, \ b] $에서 연속일 때

\begin{gather*}
\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) \ \ (\textrm{단, } a < x < b)
\end{gather*}

$ \displaystyle f(x) = \int_{1}^{x} ( t^3 – 2t + 1 ) dt $일 때 $ f'(2) $의 값을 구하여라.

적분과 미분의 관계에 의하여

\begin{gather*}
f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} ( t^3 – 2t + 1 ) dt = x^3 – 2x + 1
\end{gather*}

이다. 따라서

\begin{gather*}
f'(2) = 2^3 – 2 \times 2 + 1 = 5
\end{gather*}