수학 공식 | 고등학교 > 부정적분의 뜻과 성질

부정적분

  1. 함수 $ F(x) $의 도함수가 $ f(x) $일 때, 즉 $ F'(x) = f(x) $일 때, 함수 $ F(x) $를 $ f(x) $의 부정적분이라 하고, 기호로
    \begin{gather*}
    \int f(x) dx
    \end{gather*}와 같이 나타낸다.
  2. 함수 $ f(x) $의 한 부정적분을 $ F(x) $라 하면 함수 $ f(x) $의 모든 부정적분은
    \begin{gather*}
    \int f(x) dx = F(x) + C \ \ (C\textrm{는 상수})
    \end{gather*}의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때, $ f(x) $를 피적분함수, $ x $를 적분변수, $ C $를 적분상수라 하고, 함수 $ f(x) $의 부정적분을 구하는 것을 $ f(x) $를 적분한다고 한다.
  • 기호 $ \displaystyle \int $은 sum의 첫글자 S를 변형한 것이며, 부정적분 또는 인티그럴(integral)이라 읽는다.
  • $ \displaystyle \int 1 dx $는 $ \displaystyle \int dx $로 나타낸다.

부정적분과 미분의 관계

  1. $ \displaystyle \frac{d}{dx} \left\{ \int f(x) dx \right\} = f(x) $
  2. $ \displaystyle \int \left\{ \frac{d}{dx} f(x) \right\} dx = f(x) + C $

$ \boldsymbol{ x^n } $의 부정적분

$ n $이 음이 아닌 정수이고 $ C $는 적분상수일 때

\begin{gather*}
\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C
\end{gather*}

부정적분의 성질

  1. $ \displaystyle \int k f(x) dx = k \int f(x) dx $ (단, $ k $는 상수)
  2. $ \displaystyle \int \left\{ f(x) + g(x) \right\} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $
  3. $ \displaystyle \int \left\{ f(x) – g(x) \right\} dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx $

두 함수 $ f(x) $와 $ g(x) $의 한 부정적분을 각각 $ {F}(x) $, $ {G}(x) $라고 하면

\begin{gather*}
F(x) = \int f(x) dx, \ {F}'(x) = f(x), \ G(x) = \int g(x) dx, \ {G}'(x) = g(x)
\end{gather*}

  1. 실수 $ k $에 대하여 $ \left\{ k{F}(x) \right\}’ = k {F}'(x) = k f(x) $이므로
    \begin{gather*}
    \int k f(x) dx = k {F}(x) = k \int f(x) dx
    \end{gather*}
  2. $ \left\{ {F}(x) \pm {G}(x) \right\}’ = {F}'(x) \pm {G}'(x) = f(x) \pm g(x) $이므로
    \begin{gather*}
    \int \left\{ f(x) \pm g(x) \right\} dx = {F}(x) \pm {G}(x) = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx
    \end{gather*}