수학 공식 | 고등학교 > 무리함수의 뜻과 그래프

무리함수

  1. 함수 $ y=f(x) $에서 $ f(x) $가 $ x $에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수라고 한다.
  2. 무리함수의 정의역이 주어지지 않은 경우에는 근호 안의 식의 값이 $ 0 $ 이상이 되도록 하는 실수 전체의 집합을 정의역으로 한다.

무리함수 $ y = \sqrt{x-3} $의 정의역을 구하여라.

$ x – 3 \geq 0 $이어야 하므로 $ \{ x | x \geq 3 \} $

무리함수 $ \boldsymbol{ y = \sqrt{x} } $의 그래프

무리함수 $ y=\sqrt{x} $는 $ y=x^2 \ (x \geq 0) $의 역함수이다. 따라서 $ y=x^2 $의 그래프를 $ y=x $에 대하여 대칭이동하여 $ y=\sqrt{x} $의 그래프를 그릴 수 있다.

무리함수 $ \boldsymbol{ y = \sqrt{ax} \ (a > 0) } $의 그래프

무리함수 $ y = \sqrt{ax} \ (a > 0) $의 그래프는 $ a $의 값이 커질 수록 $ x $축에서 멀어진다.

무리함수 $ \boldsymbol{ y = \pm \sqrt{ax} \ (a \neq 0) } $의 대칭이동

$ a>0 $일 때

  1. 무리함수 $ y=\sqrt{ax} $의 그래프를 $ y $축에 대하여 대칭이동하면 $ y=\sqrt{-ax} $
  2. 무리함수 $ y=\sqrt{ax} $의 그래프를 $ x $축에 대하여 대칭이동하면 $ y=-\sqrt{ax} $
  3. 무리함수 $ y=\sqrt{ax} $의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 $ y=-\sqrt{-ax} $

무리함수 $ \boldsymbol{ y = \sqrt{a(x-p)}+q \ (a \neq 0)} $의 그래프

  1. 무리함수 $ y = \sqrt{ax} $의 그래프를 $ x $축의 방향으로 $ p $만큼, $ y $축의 방향으로 $ q $만큼 평행이동한 것이다.
  2. 정의역은 $ a > 0 $일 때 $ \{ x|x \geq p \} $, $ a<0 $일 때 $ \{ x|x \leq p \} $이고, 치역은 $ \{ y| y \geq q \} $이다.

다음 무리함수의 정의역과 치역을 구하여라.

\begin{gather*}
y = \sqrt{ 2x-4 } + 3
\end{gather*}

주어진 무리함수를 변형하면

\begin{gather*}
y = \sqrt{ 2(x-2) } + 3
\end{gather*}

이므로, 정의역은 $ \{ x | x \geq 2 \} $, 치역은 $ \{ y | y \geq 3 \} $이다.

무리함수 $ \boldsymbol{ y = -\sqrt{a(x-p)}+q \ (a \neq 0)} $의 그래프

  1. 무리함수 $ y = -\sqrt{ax} $의 그래프를 $ x $축의 방향으로 $ p $만큼, $ y $축의 방향으로 $ q $만큼 평행이동한 것이다.
  2. 정의역은 $ a > 0 $일 때 $ \{ x|x \geq p \} $, $ a<0 $일 때 $ \{ x|x \leq p \} $이고, 치역은 $ \{ y| y \leq q \} $이다.

다음 무리함수의 정의역과 치역을 구하여라.

\begin{gather*}
y = -\sqrt{ 3x+3 } – 4
\end{gather*}

주어진 무리함수를 변형하면

\begin{gather*}
y = -\sqrt{ 3(x+1) } -4
\end{gather*}

이므로, 정의역은 $ \{ x | x \geq -1 \} $, 치역은 $ \{ y | y \leq -4 \} $이다.