수학 공식 | 고등학교 > ‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제

‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제

일반적으로 조건 $ p $는 명제가 아니지만, 조건 $ p $ 앞에 ‘모든’이나 ‘어떤’이 있으면 참, 거짓이 판별되므로 명제가 된다.

‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓

전체집합 $ U $에서의 조건 $ p $의 진리집합을 $ P $라고 할 때

  1. $ P=U $이면 명제 ‘모든 $ x $에 대하여 $ p $이다.’는 참이다.
  2. $ P \neq U $이면 명제 ‘모든 $ x $에 대하여 $ p $이다.’는 거짓이다.
  3. $ P \neq \varnothing $이면 명제 ‘어떤 $ x $에 대하여 $ p $이다.’는 참이다.
  4. $ P = \varnothing $이면 명제 ‘어떤 $ x $에 대하여 $ p $이다.’는 거짓이다.
  • ‘모든’을 포함한 명제는 반례가 하나만 있어도 거짓인 명제가 된다
  • ‘어떤’을 포함한 명제는 성립하는 예가 하나만 있어도 참인 명제가 된다.

전체집합 $ U $가 실수 전체의 집합일 때, 다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라.

  1. 모든 $ x $에 대하여 $ x^2 > 0 $이다.
  2. 어떤 $ x $에 대하여 $ x^2 \leq 0 $이다.
  1. $ x=0 $이면 $ x^2 = 0 $이므로 거짓이다.
  2. $ x=0 $이면 $ x^2 = 0 $이므로 참이다.

‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제의 부정

  1. 명제 ‘모든 $ x $에 대하여 $ p $이다.’의 부정은 ‘어떤 $ x $에 대하여 $ ~p $이다.’이다.
  2. 명제 ‘어떤 $ x $에 대하여 $ p $이다.’의 부정은 ‘모든 $ x $에 대하여 $ ~p $이다.’이다.