수학 공식 | 고등학교 > 이차방정식과 이차함수의 관계

이차함수의 그래프와 이차방정식의 해

이차함수 $ y=ax^2+bx+c $의 그래프와 $ x $축의 교점의 $ x $좌표는 이차방정식

\begin{gather*}
ax^2+bx+c=0
\end{gather*}

의 실근과 같다.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근의 개수

이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 $의 판별식 $ D $의 부호에 따른 이차함수 $ y=ax^2+bx+c $의 그래프와 이차방정식의 실근의 개수는 다음과 같다.

1. $ D > 0 $일 때

$ y = ax^2 + bx + c $의 그래프

$ ax^2 + bx + c = 0 $의 해 : 서로 다른 두 실근

2. $ D = 0 $일 때

$ y = ax^2 + bx + c $의 그래프

$ ax^2 + bx + c = 0 $의 해 : 중근

3. $ D < 0 $일 때

$ y = ax^2 + bx + c $의 그래프

$ ax^2 + bx + c = 0 $의 해 : 서로 다른 두 허근

이차함수 $ y = x^2 + 2(a-2)x + a^2 $의 그래프가 $ x $축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $ a $의 값의 범위를 구하여라.

$ D/4 = (a-2)^2 – a^2 > 0 \ \ \ \therefore \ \ a < 1 $