수학 공식 | 고등학교 > 직선의 방정식

직선의 방정식 – 좌표축과 평행한 경우

  1. 점 $ (x_1, \ y_1) $을 지나고 $ x $축에 평행한 직선의 방정식은
    \begin{gather*}
    y=y_1
    \end{gather*}
  2. 점 $ (x_1, \ y_1) $을 지나고 $ y $축에 평행한 직선의 방정식은
    \begin{gather*}
    x=x_1
    \end{gather*}

직선의 방정식 – 기울기와 $ \boldsymbol{ y } $절편이 주어진 경우

기울기가 $ m $이고 $ y $절편이 $ n $인 직선의 방정식은

\begin{gather*}
y = mx + n
\end{gather*}

직선의 방정식 – 한 점과 기울기가 주어진 경우

기울기가 $ m $이고 점 $ (x_1, \ y_1) $을 지나는 직선의 방정식은

\begin{gather*}
y-y_1 = m (x-x_1)
\end{gather*}

기울기가 $ m $인 직선의 방정식을 $ y = mx + n $으로 놓는다. 점 $ (x_1, \ y_1) $을 지나므로

\begin{gather*}
y_1 = m x_1 + n \ \ \ \therefore \ \ n = y_1 – m x_1
\end{gather*}

$ y = mx + n $에 대입하고 정리하면 $ y-y_1 = m (x-x_1) $

직선의 방정식 – 두 점이 주어진 경우

두 점 $ (x_1, \ y_1) $, $ (x_2, \ y_2) $를 지나는 직선의 방정식은

  1. $ x_1 \neq x_2 $일 때 $ y-y_1 = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) $
  2. $ x_1 = x_2 $일 때 $ x=x_1 $
  1. $ x_1 \neq x_2 $이면 직선의 기울기는
    \begin{gather*}
    \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
    \end{gather*}이고, 점 $ (x_1, \ y_1) $를 지나므로 직선의 방정식은
    \begin{gather*}
    y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)
    \end{gather*}
  2. $ x_1 = x_2 $이면 점 $ (x_1, \ y_1) $을 지나면서 $ y $축에 평행한 직선이므로, 직선의 방정식은
    \begin{gather*}
    x = x_1
    \end{gather*}

직선의 방정식 – 절편이 주어진 경우

$ x $절편이 $ a $, $ y $절편이 $ b $인 직선의 방정식은

\begin{gather*}
\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \ \ (\textrm{단}, \ a \neq 0, \ b \neq 0)
\end{gather*}

$ x $절편이 $ a $, $ y $절편이 $ b $인 직선은 두 점 $ (a, \ 0) $, $ (0, \ b) $를 지나는 직선이므로

\begin{gather*}
y = \frac{b-0}{0-a} x + b \ \ \ \therefore \ \ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1
\end{gather*}

직선의 방정식 $ \boldsymbol{ ax + by + c = 0 } $

일반적으로 직선의 방정식은 $ x $, $ y $에 대한 일차방정식

\begin{gather*}
ax + by + c = 0 \ \ ( a \neq 0 \ \ \textrm{또는} \ \ b \neq 0)
\end{gather*}

의 꼴로 나타낼 수 있다.

  • $ y = mx + n $은 $ y $축에 평행한 직선을 표현하지 못하지만, $ ax + by + c = 0 $은 $ y $축에 평행한 직선, $ x $축에 평행한 직선, 기울이가 $ 0 $이 아닌 직선 모두를 표현할 수 있다.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 직선 $ ax+by+c=0 $, $ a’x+b’y+c’=0 $의 교점을 지나는 직선의 방정식은

\begin{gather*}
ax+by+c + k( a’x+b’y+c’)=0 \ \ (\textrm{단,} \ \ k \textrm{는 실수})
\end{gather*}

두 직선의 교점의 좌표를 $ (\alpha, \ \beta) $라 하면

\begin{gather*}
a \alpha + b \beta + c = 0, \ \ a’ \alpha + b’ \beta + c’ = 0
\end{gather*}

이다. $ ax+by+c + k( a’x+b’y+c’)=0 $는 $ x $, $ y $에 대한 일차방정식이므로 직선의 방정식이고

\begin{gather*}
a\alpha+b\beta+c + k( a’\alpha+b’\beta+c’)=0
\end{gather*}

이므로 두 직선의 교점 $ (\alpha, \ \beta) $를 지난다.

잡동사니

  • 직선 $ y-y_1 = m (x-x_1) $은 $ m $의 값에 관계없이 항상 점 $ (x_1, \ y_1) $을 지난다.
  • 삼각형 $ ABC $에서 점 $ A $를 지나고 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선은 변 $ BC $의 중점을 지난다.
  • 평행사변형, 직사각형, 마름로, 정사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 두 대각선의 교점을 지난다.
  • 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지난다.
  • 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
    ① 세 직선이 모두 평행하다
    ② 두 직선이 평행하다
    ③ 세 직선이 한 점에서 만난다.